Representación binomial de un número complejo
Resumen inicial
La representación binomial o binómica de un número complejo es la suma algebraica $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $bi$ es el término imaginario.
Explicación en palabras simples
La forma más natural de escribir un número complejo es como un binomio algebraico:
- Se escribe $z = a + bi$ (por ejemplo: $3 + 2i$, $-5 - 7i$, $4 - i$).
- Permite sumar y restar números complejos de manera idéntica al álgebra de polinomios: se suman términos semejantes reales con reales e imaginarios con imaginarios.
- Ejemplo: $(2 + 3i) + (5 - 8i) = (2 + 5) + (3 - 8)i = 7 - 5i$.
Explicación formal
La forma binómica o binomial de un número complejo $z \in \mathbb{C}$ corresponde a su descomposición canónica en la base canónica $\{1, i\}$ del espacio vectorial real $\mathbb{R}^2$:
$$z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})$$
Operaciones Elementales en Forma Binomial:
1. Adición y Sustracción:
$$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$
2. Multiplicación:
$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \quad (\text{usando } i^2 = -1)$$
La alternativa correcta es '$-8 + 3i$'.
Definiciones clave
- Forma binómica ($a + bi$): Notación estándar en suma de términos reales e imaginarios.
- Base canónica $\{1, i\}$: Generadores lineales del espacio de los números complejos sobre $\mathbb{R}$.
- Términos semejantes: Agrupación separada de partes reales e imaginarias.
Propiedades y relaciones importantes
- Isomorfismo con $\mathbb{R}^2$: Correspondencia biyectiva $a + bi \longleftrightarrow (a, b)$.
- Distributividad: La multiplicación cumple la propiedad distributiva estándar aplicando $i^2 = -1$.
Ejemplo guiado
Exprese el par ordenado $(4, -5)$ en forma binómica y calcule la suma $(2 + 3i) + (5 - 8i)$.
- Paso 1: Para $(4, -5)$: El primer término es la parte real $a = 4$ y el segundo es $b = -5 \implies 4 - 5i$.
- Paso 2: Para la suma: Agrupar partes reales: $2 + 5 = 7$.
- Paso 3: Agrupar partes imaginarias: $3i + (-8i) = -5i$.
- Conclusión: La suma en forma binomial es $7 - 5i$.
La alternativa correcta es '$7 - 5i$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar las componentes real $a$ e imaginaria $b$.
- Paso 2: Escribir la suma formal $a + bi$ respetando los signos de cada coeficiente.
- Paso 3: Para operar, agrupar y reducir términos reales entre sí y términos imaginarios entre sí.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar la letra 'i' en el término imaginario (escribir $4 - 5$ en vez de $4 - 5i$). Cómo corregirlo: La forma binomial exige explícitamente la presencia de la unidad imaginaria $i$ en el segundo término.
- Error 2: Multiplicar incorrectamente los signos. Cómo corregirlo: Si $b = -3$, el binomio se escribe $a - 3i$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $z = 0 + (-9)i = -9i$.
- $(6 - 2) + (4 - (-5))i = 4 + 9i$.
- Sí, se opera con las reglas ordinarias de polinomios sustituyendo $i^2 = -1$.
- Sí, $(3 + 3) + (2 - 2)i = 6 + 0i = 6$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Expresar y operar números complejos en su forma binomial canónica $z = a + bi$.
Identificando los coeficientes $a, b \in \mathbb{R}$, aplicando operaciones algebraicas de suma, resta y producto de binomios, y sustituyendo $i^2 = -1$.