Módulo de un número complejo

Resumen inicial

El módulo de un número complejo $z = a + bi$ es la distancia euclídea desde el origen hasta su afijo en el plano complejo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, cumpliendo $|z| \ge 0$.

Explicación en palabras simples

El módulo de un número complejo es su magnitud o distancia al centro $(0,0)$:
- Se escribe entre barras verticales: $|z|$.
- Se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras con los catetos $a$ y $b$: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- ¡Bajo la raíz NUNCA entra la 'i' y SIEMPRE se suman números positivos!
- Ejemplo con el trío pitagórico $3-4-5$:
- Si $z = 3 - 4i \implies |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Explicación formal

Sea $z = a + bi \in \mathbb{C}$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Se define el módulo o norma de $z$, denotado por $|z|$, como el número real no negativo:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$$

Propiedades Fundamentales del Módulo:
1. No Negatividad: $|z| \ge 0$, y $|z| = 0 \iff z = 0$.
2. Multiplicatividad: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
3. División: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$).
4. Desigualdad Triangular: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
5. Invarianza por Conjugación: $|z| = |\overline{z}| = |-z| = |-\overline{z}|$.

Definiciones clave

Módulo ($|z|$): Distancia euclídea desde el origen $(0,0)$ hasta el punto $(a,b)$.
Norma compleja: Raíz cuadrada del producto con el conjugado $\sqrt{z \cdot \overline{z}}$.
Desigualdad triangular: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Propiedades y relaciones importantes

Módulo de reales e imaginarios: Para $x \in \mathbb{R}$, $|x + 0i| = \sqrt{x^2} = |x|$; para $bi \in \mathbb{I}$, $|bi| = \sqrt{b^2} = |b|$.
Forma polar y trigonométrica: El módulo es el radio polar $r = |z|$ en $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de módulo de un complejo

Calcule el módulo $|z|$ para $z_1 = 3 - 4i$ y $z_2 = -7i$.

Paso 1: Para $z_1 = 3 - 4i$: Identificar $a = 3, b = -4$.
Paso 2: Aplicar la fórmula: $|z_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Paso 3: Para $z_2 = -7i$: Identificar $a = 0, b = -7$.
Paso 4: Calcular $|z_2| = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar las partes real $a$ e imaginaria $b$ en $z = a + bi$.
Paso 2: Elevar ambos coeficientes al cuadrado: $a^2$ y $b^2$ (ambos resultados son $\ge 0$).
Paso 3: Sumar los cuadrados $a^2 + b^2$ y extraer la raíz cuadrada principal $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Incluir 'i' dentro de la raíz ($|z| = \sqrt{a^2 + (bi)^2} = \sqrt{a^2 - b^2}$). Cómo corregirlo: La fórmula utiliza únicamente los coeficientes reales: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Error 2: Restar cuadrados cuando $b < 0$ ($(-4)^2 = -16$). Cómo corregirlo: Al elevar al cuadrado, todo número negativo se vuelve positivo: $(-4)^2 = +16$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El módulo es siempre un número real no negativo ($|z| \ge 0$)."

"Introducir la letra $i$ en la raíz del módulo."

"Olvidar extraer la raíz cuadrada tras sumar los cuadrados."

"Restar términos cuando la parte imaginaria es negativa."

"Asignar valores negativos al módulo."

"El módulo de un número complejo es la distancia euclídea $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$."

"El módulo del producto es igual al producto de los módulos ($|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$)."

Al terminar debes poder

Síntesis de módulo

Calcular y aplicar las propiedades del módulo $|z|$ en números complejos.

Evaluando la norma pitagórica $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ con los coeficientes reales $a, b \in \mathbb{R}$ y utilizando su multiplicatividad y relación con el conjugado $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación