Módulo de un número complejo
Calcular e interpretar el módulo de un complejo.
Introducción
Las partes real e imaginaria forman los catetos de un triángulo rectángulo. El módulo es su hipotenusa y mide el tamaño del complejo en el plano.
Explicación
El módulo de \(z=a+bi\) es \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
En el caso “\(|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)” esta idea se hace visible: el módulo es la distancia desde el origen al punto complejo y siempre es no negativo
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las componentes \(a\) y \(b\).
- Paso 2: Suma sus cuadrados y extrae la raíz cuadrada principal.
- Paso 3: Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen.
Ejemplos
1 \(|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\).
- Identifica las componentes \(a\) y \(b\).
- Suma sus cuadrados y extrae la raíz cuadrada principal.
- Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen.
2 Una solución aplica “Suma sus cuadrados y extrae la raíz cuadrada principal.”, pero termina sin comprobar que el módulo es la distancia desde el origen al punto complejo y siempre es no negativo. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define módulo de un número complejo: el módulo de \(z=a+bi\) es \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Identifica las componentes \(a\) y \(b\).
- Completa la revisión con este control: Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen.
3 ¿Se cumple que el módulo es la distancia desde el origen al punto complejo y siempre es no negativo? — Módulo de un número complejo
- Sí. La definición pertinente establece que el módulo de \(z=a+bi\) es \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
- El caso “\(|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)” satisface esa condición.
- Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen.
4 ¿Es válido omitir el paso “Identifica las componentes \(a\) y \(b\)”? — Módulo de un número complejo
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de módulo de un número complejo.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Suma sus cuadrados y extrae la raíz cuadrada principal.
- La solución debe terminar de este modo: Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir módulo de un número complejo con otro concepto y omitir este inicio: Identifica las componentes \(a\) y \(b\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mecánicamente “Suma sus cuadrados y extrae la raíz cuadrada principal.” sin revisar las condiciones de la definición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tomar “\(|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)” como una igualdad aislada, sin explicar por qué es válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar una respuesta que contradice la idea clave “el módulo es la distancia desde el origen al punto complejo y siempre es no negativo”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Terminar el desarrollo sin realizar este control: Comprueba que el resultado sea no negativo y coincida con la distancia al origen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El módulo de \(z=a+bi\) es \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). El módulo es la distancia desde el origen al punto complejo y siempre es no negativo.