Módulo de un número complejo

Resumen inicial

El módulo de un número complejo $z = a + bi$ es la distancia euclídea desde el origen hasta su afijo en el plano complejo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, cumpliendo $|z| \ge 0$.

Explicación en palabras simples

El módulo de un número complejo es su magnitud o distancia al centro $(0,0)$:
- Se escribe entre barras verticales: $|z|$.
- Se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras con los catetos $a$ y $b$: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- ¡Bajo la raíz NUNCA entra la 'i' y SIEMPRE se suman números positivos!
- Ejemplo con el trío pitagórico $3-4-5$:
- Si $z = 3 - 4i \implies |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Explicación formal

Sea $z = a + bi \in \mathbb{C}$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Se define el módulo o norma de $z$, denotado por $|z|$, como el número real no negativo:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$$

Propiedades Fundamentales del Módulo:
1. No Negatividad: $|z| \ge 0$, y $|z| = 0 \iff z = 0$.
2. Multiplicatividad: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
3. División: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$).
4. Desigualdad Triangular: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.
5. Invarianza por Conjugación: $|z| = |\overline{z}| = |-z| = |-\overline{z}|$.

Definiciones clave

Módulo ($|z|$): Distancia euclídea desde el origen $(0,0)$ hasta el punto $(a,b)$.
Norma compleja: Raíz cuadrada del producto con el conjugado $\sqrt{z \cdot \overline{z}}$.
Desigualdad triangular: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Propiedades y relaciones importantes

Módulo de reales e imaginarios: Para $x \in \mathbb{R}$, $|x + 0i| = \sqrt{x^2} = |x|$; para $bi \in \mathbb{I}$, $|bi| = \sqrt{b^2} = |b|$.
Forma polar y trigonométrica: El módulo es el radio polar $r = |z|$ en $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de módulo de un complejo

Calcule el módulo $|z|$ para $z_1 = 3 - 4i$ y $z_2 = -7i$.

Paso 1: Para $z_1 = 3 - 4i$: Identificar $a = 3, b = -4$.
Paso 2: Aplicar la fórmula: $|z_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Paso 3: Para $z_2 = -7i$: Identificar $a = 0, b = -7$.
Paso 4: Calcular $|z_2| = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar las partes real $a$ e imaginaria $b$ en $z = a + bi$.
Paso 2: Elevar ambos coeficientes al cuadrado: $a^2$ y $b^2$ (ambos resultados son $\ge 0$).
Paso 3: Sumar los cuadrados $a^2 + b^2$ y extraer la raíz cuadrada principal $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Incluir 'i' dentro de la raíz ($|z| = \sqrt{a^2 + (bi)^2} = \sqrt{a^2 - b^2}$). Cómo corregirlo: La fórmula utiliza únicamente los coeficientes reales: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Error 2: Restar cuadrados cuando $b < 0$ ($(-4)^2 = -16$). Cómo corregirlo: Al elevar al cuadrado, todo número negativo se vuelve positivo: $(-4)^2 = +16$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar extraer la raíz cuadrada tras sumar los cuadrados."

"El módulo de un número complejo es la distancia euclídea $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$."

"El módulo es siempre un número real no negativo ($|z| \ge 0$)."

"Restar términos cuando la parte imaginaria es negativa."

"Asignar valores negativos al módulo."

"Introducir la letra $i$ en la raíz del módulo."

"El módulo del producto es igual al producto de los módulos ($|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$)."

Al terminar debes poder

Síntesis de módulo

Calcular y aplicar las propiedades del módulo $|z|$ en números complejos.

Evaluando la norma pitagórica $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ con los coeficientes reales $a, b \in \mathbb{R}$ y utilizando su multiplicatividad y relación con el conjugado $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación