Identificación de la parte real de un número complejo
Resumen inicial
La parte real de un número complejo $z = a + bi$ es el número real $a$, denotado formalmente por $\operatorname{Re}(z) = a$, correspondiente al término no multiplicado por $i$.
Explicación en palabras simples
Para identificar la parte real de un número complejo:
- Buscas el número que está completamente libre y no tiene la letra $i$ al lado.
- Se escribe como $\operatorname{Re}(z)$.
- En $z = 5 - 3i$, la parte real es $\operatorname{Re}(z) = 5$.
- En $z = 7i - 12$, cuidado con el orden: la parte real es $\operatorname{Re}(z) = -12$.
- En un imaginario puro como $z = 9i$, la parte real es $\operatorname{Re}(z) = 0$.
Explicación formal
Sea $z = a + bi \in \mathbb{C}$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Se define el operador de proyección real $\operatorname{Re}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ mediante:
$$\operatorname{Re}(z) = a = \frac{z + \overline{z}}{2}$$
donde $\overline{z} = a - bi$ es el conjugado de $z$.
Propiedades Algebraicas:
1. $\operatorname{Re}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{Re}(z_1) \pm \operatorname{Re}(z_2)$.
2. $z \in \mathbb{R} \iff \operatorname{Re}(z) = z \iff \operatorname{Im}(z) = 0$.
3. $|\operatorname{Re}(z)| \le |z|$ para todo $z \in \mathbb{C}$.
La alternativa correcta es '$-15$ (el término independiente de $i$, reordenando a $-15 + 4i$)'.
Definiciones clave
- Parte real ($\operatorname{Re}(z)$): Valor escalar $a \in \mathbb{R}$ independiente de la unidad imaginaria.
- Operador de proyección: Transformación lineal $\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$.
- Número real puro: Complejo con $\operatorname{Im}(z) = 0$ tal que $z = \operatorname{Re}(z)$.
Propiedades y relaciones importantes
- Eje horizontal (Eje Real): La parte real define la coordenada $X$ en el plano complejo de Argand-Gauss.
- Desigualdad básica: $-|z| \le \operatorname{Re}(z) \le |z|$.
Ejemplo guiado
Determine la parte real $\operatorname{Re}(z)$ para $z_1 = 7i - 12$ y $z_2 = \frac{6 - 4i}{2}$.
- Paso 1: Para $z_1 = 7i - 12$: Reordenar en forma canónica $a + bi \implies -12 + 7i$.
- Paso 2: Extraer el término independiente: $\operatorname{Re}(z_1) = -12$.
- Paso 3: Para $z_2 = \frac{6 - 4i}{2}$: Distribuir el denominador: $\frac{6}{2} - \frac{4}{2}i = 3 - 2i$.
- Paso 4: Identificar la parte real: $\operatorname{Re}(z_2) = 3$.
La alternativa correcta es '$3$'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el número complejo separando claramente los términos reales de los imaginarios.
- Paso 2: Si hay denominadores o productos, simplificar la expresión a la forma canónica $a + bi$.
- Paso 3: Extraer el número real $a = \operatorname{Re}(z)$ con su signo correspondiente.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Tomar siempre el primer número sin fijarse en la 'i' (en $5i + 2$, decir $\operatorname{Re}(z) = 5$). Cómo corregirlo: La parte real es la que NO tiene $i$: en $5i + 2$, $\operatorname{Re}(z) = 2$.
- Error 2: Olvidar el signo negativo del término. Cómo corregirlo: Extraer el signo completo del coeficiente: $\operatorname{Re}(-8 + 3i) = -8$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $z = 0 - 23i \implies \operatorname{Re}(z) = 0$.
- $(2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i \implies \operatorname{Re}(z) = 3$.
- Sí, $\frac{(a+bi) + (a-bi)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.
- Sí, para todo $x \in \mathbb{R}$, $\operatorname{Re}(x) = x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar y extraer con precisión la parte real $\operatorname{Re}(z)$ de cualquier número complejo.
Reordenando la expresión a la forma canónica $a + bi$, distribuyendo denominadores y seleccionando el término independiente real $a \in \mathbb{R}$.