División de números en notación científica
Resumen inicial
Para dividir números en notación científica, se dividen las mantisas entre sí y se restan los exponentes de las potencias de diez: $\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \left(\frac{a}{b}\right) \cdot 10^{m-n}$, normalizando si el cociente es menor a 1.
Explicación en palabras simples
Dividir números en notación científica es muy directo:
1. Divides los números de adelante (las mantisas $a : b$).
2. Restas los exponentes de diez ($10^{m-n}$) aplicando la ley de cociente de potencias de igual base.
3. Paso final de normalización: Si el cociente de las mantisas te da menor a $1$ (por ejemplo $0,4$), mueves la coma un lugar a la derecha y restas $1$ al exponente: $0,4 \cdot 10^3 = 4 \cdot 10^2$.
Explicación formal
Sean $x = a \cdot 10^m$ e $y = b \cdot 10^n$ dos números en notación científica con $b \neq 0$ ($1 \le a, b < 10$ y $m, n \in \mathbb{Z}$). El Cociente en Notación Científica se define formalmente como:
$$\frac{x}{y} = \left(\frac{a}{b}\right) \cdot 10^{m-n}$$
Fase de Renormalización:
Como $1 \le a < 10$ y $1 \le b < 10$, el cociente $\frac{a}{b}$ satisface $0,1 < \frac{a}{b} < 10$:
- Si $1 \le \frac{a}{b} < 10$: La expresión ya está en forma normalizada.
- Si $0,1 < \frac{a}{b} < 1$: Se define $k = \left(\frac{a}{b}\right) \cdot 10 \in [1, 10)$ y se decrementa el exponente:
$$\frac{x}{y} = k \cdot 10^{(m-n)-1}$$
La alternativa correcta es '$4 \cdot 10^3$ (porque $2 : 5 = 0,4 = 4 \cdot 10^{-1}$ y $7 - 3 - 1 = 3$)'.
Definiciones clave
- Cociente de mantisas ($a/b$): División directa del dividendo por el divisor.
- Renormalización descendente: Ajuste $k = (a/b) \cdot 10$ con exponente $(m-n-1)$ cuando el cociente es $< 1$.
Propiedades y relaciones importantes
- Resta de negativos en el divisor: $\frac{10^m}{10^{-k}} = 10^{m - (-k)} = 10^{m+k}$.
- División por cero excluida: Requiere obligatoriamente $b \neq 0$.
Ejemplo guiado
Calcule el cociente de las expresiones $\frac{9 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^3}$, $\frac{1,2 \cdot 10^4}{4 \cdot 10^{-2}}$ y $\frac{3,5 \cdot 10^{-5}}{7 \cdot 10^2}$ en notación científica normalizada.
- Paso 1: Evaluar $\frac{9 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^3}$: Dividir mantisas $9 : 3 = 3$. Restar exponentes: $8 - 3 = 5$. Resultado: $3 \cdot 10^5$ (normalizado).
- Paso 2: Evaluar $\frac{1,2 \cdot 10^4}{4 \cdot 10^{-2}}$: Dividir mantisas $1,2 : 4 = 0,3$. Restar exponentes: $4 - (-2) = 6$. Queda $0,3 \cdot 10^6$. Normalizar: $0,3 = 3 \cdot 10^{-1} \implies 3 \cdot 10^5$.
- Paso 3: Evaluar $\frac{3,5 \cdot 10^{-5}}{7 \cdot 10^2}$: Dividir mantisas $3,5 : 7 = 0,5$. Restar exponentes: $-5 - 2 = -7$. Queda $0,5 \cdot 10^{-7}$. Normalizar: $0,5 = 5 \cdot 10^{-1} \implies 5 \cdot 10^{-8}$.
- Conclusión: Los resultados son $3 \cdot 10^5$, $3 \cdot 10^5$ y $5 \cdot 10^{-8}$.
La alternativa correcta es 'Porque al restar un exponente negativo se convierte en suma: $4 - (-2) = 4 + 2 = 6$'.
Procedimiento
- Paso 1: Dividir la mantisa del numerador por la del denominador: $a / b$.
- Paso 2: Restar los exponentes de diez: $(\text{exp. numerador}) - (\text{exp. denominador})$.
- Paso 3: Si el cociente $a / b < 1$, desplazar la coma un lugar a la derecha y restar $1$ al exponente final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dejar el cociente menor a 1 sin normalizar ($0,2 \cdot 10^5$). Cómo corregirlo: La mantisa debe ser $\ge 1$. Reescribir $2 \cdot 10^4$.
- Error 2: Error de signos al restar exponentes negativos en el divisor. Cómo corregirlo: Recordar $m - (-n) = m + n$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(8 : 2) \cdot 10^{6-2} = 4 \cdot 10^4$.
- $1 : 4 = 0,25 \implies 0,25 \cdot 10^3 = 2,5 \cdot 10^2$.
- Sí, $6 : 3 = 2$ y $4 - (-2) = 6 \implies 2 \cdot 10^6$.
- Sí, $4 : 8 = 0,5$ y $5 - 2 = 3 \implies 0,5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Dividir números expresados en notación científica.
Dividiendo las mantisas $(a / b)$, restando algebraicamente los exponentes de diez $(m - n)$ y renormalizando el resultado si el cociente resulta ser menor que uno ($a / b < 1$).