Restricción de argumento positivo en un logaritmo
Resumen inicial
El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo ($a > 0$), ya que una base positiva elevada a cualquier exponente real siempre genera un resultado mayor que cero.
Explicación en palabras simples
¿Por qué no existen logaritmos de números negativos o cero?
- Para cualquier base positiva ($b > 0$), como $2$:
- $2^3 = 8$ (positivo)
- $2^0 = 1$ (positivo)
- $2^{-5} = \frac{1}{32}$ (positivo)
- ¡Ningún exponente puede hacer que una base positiva dé un número negativo o cero!
- Por eso, el argumento debe ser siempre estrictamente positivo: $a > 0$.
Explicación formal
Sea la función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$ con $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Como la imagen de la función exponencial $g(x) = b^x$ es el conjunto $\operatorname{Rec}(g) = \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$, el dominio analítico del logaritmo es estrictamente:
$$\operatorname{Dom}(\log_b) = ]0, +\infty[$$
Consecuencias Analíticas:
1. $\log_b(a)$ no existe en $\mathbb{R}$ para todo $a \le 0$.
2. En $x = 0$ existe una asíntota vertical donde $\lim_{x \to 0^+} \log_b(x) = \pm \infty$.
La alternativa correcta es '$]5, +\infty[$ (es decir, $x > 5$)'.
Definiciones clave
- Argumento positivo ($a > 0$): Condición de existencia obligatoria para el radicando o argumento del logaritmo.
- Dominio logarítmico: Conjunto $\mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$.
- Asíntota vertical: Recta $x = 0$ a la que se aproxima la curva logarítmica sin tocarla jamás.
Propiedades y relaciones importantes
- Inecuación de existencia: Para $\log_b(g(x))$, se exige resolver la inecuación estricta $g(x) > 0$.
- Valores del logaritmo: Aunque el argumento debe ser positivo ($a > 0$), el resultado del logaritmo puede ser negativo ($c < 0$) si $0 < a < 1$ (con $b > 1$).
Ejemplo guiado
Determine la validez de $\log_2(-8)$, $\log_{10}(0)$ y $\log_2\left(\frac{1}{16}\right)$ en los números reales.
- Paso 1: Para $\log_2(-8)$: El argumento es $-8 < 0$. Como $2^c > 0$ siempre, no existe en $\mathbb{R}$.
- Paso 2: Para $\log_{10}(0)$: El argumento es $0$. Como $10^c \neq 0$ para todo $c \in \mathbb{R}$, está indefinido.
- Paso 3: Para $\log_2\left(\frac{1}{16}\right)$: El argumento es $\frac{1}{16} > 0$. Es válido y su valor es $-4$ ($2^{-4} = \frac{1}{16}$).
- Conclusión: Solo los argumentos estrictamente mayores a cero son válidos en $\mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Porque el argumento $\frac{1}{16}$ es positivo ($> 0$); el resultado del logaritmo sí puede ser negativo'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el argumento $a$ o la expresión interna $g(x)$.
- Paso 2: Establecer la inecuación estricta $g(x) > 0$.
- Paso 3: Resolver la inecuación para determinar el conjunto de valores de $x$ donde el logaritmo existe.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir argumento negativo con resultado negativo. Cómo corregirlo: El argumento no puede ser negativo ($a > 0$), pero el resultado sí puede ser negativo ($\log_2(1/4) = -2$).
- Error 2: Incluir el cero en el dominio ($a \ge 0$). Cómo corregirlo: La inecuación es estrictamente mayor que cero ($a > 0$), el cero no tiene logaritmo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.
- El argumento $-100 < 0$ viola la restricción $a > 0$.
- No, $\log(0)$ está indefinido porque ninguna potencia de 10 da 0.
- Sí, porque el argumento $1/27 > 0$ es positivo y $3^{-3} = 1/27$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprender y aplicar la restricción de argumento positivo $a > 0$ en logaritmos.
Verificando que todo argumento pertenezca al intervalo $]0, +\infty[$ y planteando inecuaciones estrictas $g(x) > 0$ para hallar dominios de existencia.