Logaritmo de uno
Resumen inicial
El logaritmo de 1 en cualquier base admisible es siempre igual a cero: $\log_b(1) = 0$, porque cualquier base positiva elevada a 0 da como resultado 1 ($b^0 = 1$).
Explicación en palabras simples
Una de las reglas más importantes de los logaritmos es:
- ¿A qué exponente debes elevar cualquier número para que el resultado sea $1$?
- ¡A cero! Porque $2^0 = 1$, $5^0 = 1$, $10^0 = 1$ y $e^0 = 1$.
- Por lo tanto, sin importar la base, el logaritmo de 1 siempre vale 0: $\log_b(1) = 0$.
Explicación formal
Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Por el axioma de la potencia con exponente nulo en el cuerpo de los números reales, se cumple que:
$$b^0 = 1$$
Aplicando la definición de logaritmo, se deduce la propiedad fundamental del logaritmo de uno:
$$\log_b(1) = 0$$
Propiedad Geométrica:
La gráfica de cualquier función logarítmica $f(x) = \log_b(x)$ interseca obligatoriamente al eje de las abscisas en el punto coordenado $(1, 0)$.
La alternativa correcta es '$0$ (porque $2026^0 = 1$)'.
Definiciones clave
- Logaritmo de uno: Identidad $\log_b(1) = 0$ válida para toda base admisible.
- Raíz o cero de la función: Punto $x = 1$ donde la función logarítmica toma el valor 0.
- Intersección horizontal: Punto $(1, 0)$ en el plano cartesiano.
Propiedades y relaciones importantes
- Universalidad: Es independiente del valor particular de la base $b$.
- Anulación de sumandos: En expresiones algebraicas, cualquier término $\log_b(1)$ se reemplaza inmediatamente por 0.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log_2(1)$, $\log(1)$ y $\ln(1)$.
- Paso 1: Para $\log_2(1)$: Como $2^0 = 1$, se tiene $\log_2(1) = 0$.
- Paso 2: Para $\log(1)$: Como $10^0 = 1$, se tiene $\log(1) = 0$.
- Paso 3: Para $\ln(1)$: Como $e^0 = 1$, se tiene $\ln(1) = 0$.
- Conclusión: El logaritmo de 1 es siempre 0 en todas las bases.
La alternativa correcta es 'A $0$, por lo que $E = 2 + 0 - 3 = -1$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar si el argumento del logaritmo es igual a 1.
- Paso 2: Verificar que la base cumpla $b > 0, b \neq 1$.
- Paso 3: Sustituir directamente el valor $\log_b(1) = 0$ en el cálculo algebraico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Pensar que $\log_b(1) = 1$. Cómo corregirlo: La potencia que da 1 es el exponente 0 ($b^0 = 1$), por lo que el logaritmo es 0.
- Error 2: Confundir $\log_b(1) = 0$ con $\log_b(b) = 1$. Cómo corregirlo: El logaritmo de la base da 1; el logaritmo de 1 da 0.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $8^0 = 1 \implies \log_8(1) = 0$.
- $E = 4(0) + 5 = 0 + 5 = 5$.
- Sí, porque $e^0 = 1$.
- Sí, porque para $x = 1$, $y = \log(1) = 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Comprender y aplicar la propiedad universal $\log_b(1) = 0$.
Reconociendo que $b^0 = 1$ para toda base válida y simplificando inmediatamente a cero cualquier término con argumento igual a 1.