Logaritmo de la base
Resumen inicial
El logaritmo de la base es siempre igual a uno: $\log_b(b) = 1$, porque cualquier número elevado al exponente 1 da como resultado el mismo número ($b^1 = b$).
Explicación en palabras simples
Cuando la base y el argumento coinciden, el resultado siempre es $1$:
- ¿A qué exponente debes elevar $5$ para obtener $5$? ¡A $1$! ($5^1 = 5$).
- Por eso: $\log_5(5) = 1$, $\log_{10}(10) = 1$ y $\ln(e) = 1$.
- Más aún, para cualquier potencia de la base: $\log_b(b^k) = k$.
Explicación formal
Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$. Por la propiedad del elemento neutro del exponente en los números reales ($b^1 = b$), se deduce inmediatamente la propiedad del logaritmo de la base:
$$\log_b(b) = 1$$
Generalización a Potencias:
Para todo exponente $k \in \mathbb{R}$:
$$\log_b(b^k) = k \cdot \log_b(b) = k \cdot 1 = k$$
Esta regla permite simplificar instantáneamente logaritmos cuyos argumentos son potencias directas de la base.
La alternativa correcta es '$9$ (porque $\log_b(b^k) = k$)'.
Definiciones clave
- Logaritmo de la base: Identidad $\log_b(b) = 1$.
- Extracción de potencia: Identidad $\log_b(b^k) = k$.
- Elemento neutro del exponente: Propiedad $b^1 = b$.
Propiedades y relaciones importantes
- Cancelación unívoca: El operador logarítmico y la base se neutralizan dejando solo el exponente.
- Logaritmo decimal y natural: $\log(10) = 1$ y $\ln(e) = 1$.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log_5(5)$, $\log(10)$ y $\ln(e)$.
- Paso 1: Para $\log_5(5)$: Como $5^1 = 5$, se tiene $\log_5(5) = 1$.
- Paso 2: Para $\log(10)$: Como $10^1 = 10$, se tiene $\log(10) = 1$.
- Paso 3: Para $\ln(e)$: Como $e^1 = e$, se tiene $\ln(e) = 1$.
- Conclusión: El logaritmo de la base es idénticamente 1 en todos los sistemas.
La alternativa correcta es '$3$ (porque $3(1) - 1 + 1 = 3$)'.
Procedimiento
- Paso 1: Detectar si el argumento coincide con la base o es una potencia directa de ella.
- Paso 2: Si el argumento es $b$, reemplazar directamente por 1: $\log_b(b) = 1$.
- Paso 3: Si el argumento es $b^k$, extraer el exponente: $\log_b(b^k) = k$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Pensar que $\log_b(b) = 0$. Cómo corregirlo: $\log_b(1) = 0$, pero cuando coinciden argumento y base, el exponente es 1 ($b^1 = b \implies \log_b(b) = 1$).
- Error 2: Olvidar multiplicar el exponente extraído. Cómo corregirlo: En $2\log_3(3^4)$, el cálculo es $2 imes 4 = 8$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $12^1 = 12 \implies \log_{12}(12) = 1$.
- Por extracción directa $\log_b(b^k) = k$, el resultado es $-5$.
- Sí, porque la base tácita es 10 y $10^1 = 10$.
- Sí, porque $e^1 = e$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Comprender y aplicar la propiedad de identidad $\log_b(b) = 1$ y su generalización $\log_b(b^k) = k$.
Reconociendo la coincidencia entre la base y el argumento para simplificar directamente a 1 o extraer el exponente correspondiente.