Definición de logaritmo
Resumen inicial
Un logaritmo $\log_b(a) = c$ representa el exponente $c$ al que se debe elevar la base $b$ ($b > 0, b \neq 1$) para obtener el argumento $a$ ($a > 0$).
Explicación en palabras simples
Un logaritmo es simplemente una pregunta sobre exponentes.
- Cuando ves $\log_2(8)$, te estás preguntando: ¿A qué número debo elevar el $2$ para que el resultado sea $8$?
- Como $2^3 = 8$, el resultado del logaritmo es $3$: $\log_2(8) = 3$.
- Los tres componentes son: la base (el número pequeño abajo, $2$), el argumento (el número adentro, $8$) y el logaritmo (el exponente resultante, $3$).
Explicación formal
Sean $a, b \in \mathbb{R}$ tales que $b > 0$, $b \neq 1$ y $a > 0$. Se define el logaritmo de $a$ en base $b$, denotado por $\log_b(a)$, como el único número real $c$ que satisface la ecuación exponencial:
$$\log_b(a) = c \iff b^c = a$$
Condiciones de Existencia en $\mathbb{R}$:
1. Base positiva y distinta de uno: $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$.
2. Argumento estrictamente positivo: $a \in \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$.
3. Logaritmo real: $c \in \mathbb{R}$ (puede ser positivo, cero o negativo).
La alternativa correcta es '$3$ (porque $4^3 = 64$)'.
Definiciones clave
- Logaritmo ($\log_b(a)$): Exponente al que se eleva la base $b$ para obtener el argumento $a$.
- Base ($b$): Número positivo distinto de 1 que sirve como factor de crecimiento.
- Argumento ($a$): Valor positivo resultante de la potencia.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia exponencial: $\log_b(a) = c \iff b^c = a$.
- Logaritmo de 1: $\log_b(1) = 0$ porque $b^0 = 1$.
- Logaritmo de la base: $\log_b(b) = 1$ porque $b^1 = b$.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de los logaritmos $\log_2(8)$, $\log_3(81)$ y $\log_5\left(\frac{1}{25}\right)$.
- Paso 1: Para $\log_2(8)$: Plantear $2^c = 8$. Como $8 = 2^3$, se obtiene $c = 3$.
- Paso 2: Para $\log_3(81)$: Plantear $3^c = 81$. Como $81 = 3^4$, se obtiene $c = 4$.
- Paso 3: Para $\log_5\left(\frac{1}{25}\right)$: Plantear $5^c = \frac{1}{25} = 5^{-2}$, dando $c = -2$.
- Conclusión: Los valores son $3$, $4$ y $-2$ respectivamente.
La alternativa correcta es 'Porque $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la base $b$ y el argumento $a$.
- Paso 2: Escribir la ecuación exponencial equivalente $b^c = a$.
- Paso 3: Expresar el argumento $a$ como potencia de base $b$ e igualar los exponentes para hallar $c$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar la base por el argumento ($\log_2(8) = 2 imes 8 = 16$). Cómo corregirlo: El logaritmo busca el exponente, no el producto: $2^3 = 8 \implies \log_2(8) = 3$.
- Error 2: Pensar que el logaritmo no puede ser negativo. Cómo corregirlo: Cuando el argumento es una fracción menor a 1 (con base entera), el exponente es negativo ($\log_2(1/2) = -1$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $2^4 = 16 \implies \log_2(16) = 4$.
- $10^2 = 100 \implies \log(100) = 2$.
- Sí, porque $2^5 = 32$.
- Sí, porque $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular y comprender la definición formal de un logaritmo en los números reales.
Planteando la equivalencia exponencial $\log_b(a) = c \iff b^c = a$, descomponiendo el argumento $a$ en potencias de la base $b$ y verificando las condiciones $b > 0, b \neq 1, a > 0$.