Concepto de logaritmo decimal
Resumen inicial
El logaritmo decimal o común es aquel cuya base es 10; por convención internacional, el subíndice 10 se omite, escribiéndose simplemente como $\log(x) = \log_{10}(x)$.
Explicación en palabras simples
El logaritmo más utilizado en la vida diaria y en la ciencia escolar es el logaritmo en base 10:
- Como es el más común, la base 10 no se escribe: $\log(x)$ significa exactamente $\log_{10}(x)$.
- Mide órdenes de magnitud:
- $\log(10) = 1$ ($1$ cero)
- $\log(100) = 2$ ($2$ ceros)
- $\log(1000) = 3$ ($3$ ceros)
- $\log(0,01) = -2$ ($2$ decimales)
Explicación formal
Se define el logaritmo decimal, vulgar o de Briggs como el logaritmo cuya base es la constante entera $10$:
$$\log(x) \equiv \log_{10}(x) \quad (\forall x > 0)$$
Propiedad de Potencias de 10:
$$\log(10^k) = k \quad (\forall k \in \mathbb{R})$$
Relación con Notación Científica:
Todo número real positivo $N$ puede expresarse como $N = M \cdot 10^k$ con $1 \le M < 10$ y $k \in \mathbb{Z}$. Entonces:
$$\log(N) = \log(M \cdot 10^k) = \log(M) + k$$
donde $k$ es la característica entera y $\log(M) \in [0, 1[$ es la mantisa decimal.
La alternativa correcta es 'A la base 10 (por convención internacional del logaritmo decimal)'.
Definiciones clave
- Logaritmo decimal ($\log(x)$): Logaritmo en base 10 con subíndice omitido.
- Característica ($k$): Parte entera del logaritmo decimal, asociada a la potencia de 10.
- Mantisa: Parte decimal positiva del logaritmo, asociada a los dígitos significativos.
Propiedades y relaciones importantes
- Ceros decimales: Para potencias exactas $10^k$, el logaritmo cuenta la cantidad de ceros o posiciones decimales.
- Escalas científicas: Base de la escala de Richter (sismos), escala de pH (acidez) y escala de decibeles (sonido).
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log(1000)$, $\log(0,01)$ y $\log(\sqrt{10})$.
- Paso 1: Para $\log(1000)$: Escribir $1000 = 10^3 \implies \log(10^3) = 3$.
- Paso 2: Para $\log(0,01)$: Escribir $0,01 = 10^{-2} \implies \log(10^{-2}) = -2$.
- Paso 3: Para $\log(\sqrt{10})$: Escribir $\sqrt{10} = 10^{1/2} \implies \log(10^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
- Conclusión: Los valores son $3$, $-2$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente.
La alternativa correcta es 'Porque $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Reconocer la notación $\log(x)$ con base 10 implícita.
- Paso 2: Expresar el argumento $x$ como potencia de $10$: $x = 10^k$.
- Paso 3: Obtener el logaritmo igualando directamente al exponente $k$: $\log(10^k) = k$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Asumir que la base omitida es 0 o 1. Cómo corregirlo: La notación $\log(x)$ sin subíndice representa universalmente la base 10.
- Error 2: Contar mal los ceros en números decimales menores a 1. Cómo corregirlo: $0,001 = 10^{-3}$ (3 lugares después de la coma $\implies \log(0,001) = -3$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $100000 = 10^5 \implies \log(100000) = 5$.
- $0,0001 = 10^{-4} \implies \log(0,0001) = -4$.
- Sí, porque $10^2 = 100$.
- Sí, porque $\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Comprender y calcular logaritmos decimales en base 10.
Reconociendo la convención $\log(x) \equiv \log_{10}(x)$, descomponiendo argumentos en potencias $10^k$ y aplicando $\log(10^k) = k$.