Concepto de disminución porcentual
Resumen inicial
La disminución porcentual consiste en reducir una cantidad base $V_i$ restando un porcentaje de sí misma, lo que equivale a multiplicar por el factor de reducción $F = 1 - \frac{d}{100}$.
Explicación en palabras simples
Cuando una cantidad disminuye porcentualmente, el valor final es menor que el inicial porque se le descuenta una proporción de sí misma. Por ejemplo, si un estanque de $500$ litros pierde el $20\%$ de su agua, no pierde 20 litros, sino $500 \cdot 0,20 = 100$ litros, quedando $400$ litros. En un solo paso, multiplicamos por $1 - 0,20 = 0,80$.
Explicación formal
Para un valor inicial $V_i > 0$ y una tasa de reducción $d > 0$ (con $d \le 100$), la Disminución Porcentual se define como el valor final $V_f$ obtenido tras restar la variación absoluta $\Delta V = \left(\frac{d}{100}\right) \cdot V_i$:
$$V_f = V_i - \left(\frac{d}{100} \cdot V_i\right) = V_i \cdot \left(1 - \frac{d}{100}\right) = V_i \cdot F_{\text{dis}}$$
Donde $F_{\text{dis}} = 1 - d_{\text{dec}} < 1$ es el factor multiplicador de reducción.
El factor de disminución es $F = 1 - \frac{35}{100} = 1 - 0,35 = 0,65$.
Definiciones clave
- Disminución porcentual: Pérdida o merma proporcional a la cantidad base mediante el factor $F = 1 - \frac{d}{100}$.
- Factor de reducción: Número decimal en el intervalo $[0, 1)$ que expresa la fracción complementaria que se conserva de la cantidad original.
Propiedades y relaciones importantes
- Magnitud final: $V_f < V_i$ siempre que la tasa de disminución $0 < d < 100$.
- Límite de anulación: Si $d = 100\%$, entonces $F = 0$ y $V_f = 0$.
Ejemplo guiado
Una bodega almacena $600\text{ kg}$ de fruta. Por evaporación, la masa disminuye un $15\%$. ¿Cuántos kilogramos de fruta quedan?
- Paso 1: Identificar la masa inicial $V_i = 600\text{ kg}$ y la tasa de reducción $d = 15\%$.
- Paso 2: Determinar el factor complementario: $F = 1 - 0,15 = 0,85$.
- Paso 3: Multiplicar la masa por el factor: $V_f = 600 \cdot 0,85 = 510\text{ kg}$.
- Conclusión: Quedan $510\text{ kg}$ de fruta en la bodega.
$V_f = 80.000 \cdot (1 - 0,25) = 80.000 \cdot 0,75 = 60.000$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el valor inicial $V_i$ y la tasa de disminución porcentual $d\%$.
- Paso 2: Calcular el factor decimal complementario $F = 1 - \frac{d}{100}$.
- Paso 3: Multiplicar $V_f = V_i \cdot F$ para obtener el valor remanente tras la reducción.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir la cantidad perdida con la cantidad restante. Cómo corregirlo: La cantidad perdida es $V_i \cdot d_{\text{dec}}$, mientras que la cantidad final que queda es $V_i \cdot (1 - d_{\text{dec}})$.
- Error 2: Usar factores mayores a 1 en disminuciones. Cómo corregirlo: Una disminución siempre tiene factor $F < 1$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Identificar la base $V_i = 450\text{ kWh}$ y la tasa $d = 20\%$.
- Factor complementario: $1 - 0,20 = 0,80$.
- Multiplicar: $V_f = 450 \cdot 0,80 = 360\text{ kWh}$.
- Factor de piezas útiles: $1 - 0,05 = 0,95$.
- Multiplicar: $1.200 \cdot 0,95 = 1.140$ piezas.
- Sí, porque $F = 1 - 0,50 = 0,50 = \frac{1}{2}$.
- No, porque $F = 1 - 1 = 0$, dejando el valor final en cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Definir y calcular disminuciones porcentuales sobre cantidades base. CÓMO: Multiplicando el valor inicial $V_i$ por el factor complementario $F = 1 - \frac{d}{100}$ para obtener directamente el valor final $V_f = V_i \cdot (1 - d_{\text{dec}})$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un artículo sufre una disminución porcentual del $25\%$, esto significa que su nuevo valor corresponde al: (v1)
$100\% - 25\% = 75\%$.
Respuesta: A) $75\%$ del valor original.
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Si un artículo sufre una disminución porcentual del $25\%$, esto significa que su nuevo valor corresponde al: (v2)
$100\% - 25\% = 75\%$.
Respuesta: A) $75\%$ del valor original.
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Si un artículo sufre una disminución porcentual del $25\%$, esto significa que su nuevo valor corresponde al: (v3)
$100\% - 25\% = 75\%$.
Respuesta: A) $75\%$ del valor original.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para aplicar una disminución del $15\%$ en un solo paso, debes multiplicar el valor original por:
$100\% - 15\% = 85\%$, que en decimal es $0.85$.
Respuesta: A) $0.85$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si un vehículo disminuye su precio en un $10\%$, su nuevo valor se calcula multiplicando el precio original por $0.90$?
$100\% - 10\% = 90\%$, que es $0.90$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un vehículo disminuye su precio en un $10\%$, su nuevo valor se calcula multiplicando el precio original por $0.90$?
$100\% - 10\% = 90\%$, que es $0.90$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un vehículo disminuye su precio en un $10\%$, su nuevo valor se calcula multiplicando el precio original por $0.90$?
$100\% - 10\% = 90\%$, que es $0.90$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La cantidad de bacterias en una muestra era de $4.000$. Tras aplicar un antibiótico, la población disminuyó en un $35\%$. ¿Cuál es la expresión que determina la cantidad final de bacterias? (v1)
$100\% - 35\% = 65\%$. El factor decimal es $0.65$.
Respuesta: A) $4000 \cdot 0.65$
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La cantidad de bacterias en una muestra era de $4.000$. Tras aplicar un antibiótico, la población disminuyó en un $35\%$. ¿Cuál es la expresión que determina la cantidad final de bacterias? (v3)
$100\% - 35\% = 65\%$. El factor decimal es $0.65$.
Respuesta: A) $4000 \cdot 0.65$
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La cantidad de bacterias en una muestra era de $4.000$. Tras aplicar un antibiótico, la población disminuyó en un $35\%$. ¿Cuál es la expresión que determina la cantidad final de bacterias? (v2)
$100\% - 35\% = 65\%$. El factor decimal es $0.65$.
Respuesta: A) $4000 \cdot 0.65$