Cálculo de una parte desconocida en reparto proporcional

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de una parte desconocida en un reparto proporcional reconstruye la constante unitaria $k = \frac{x_{\text{conocido}}}{c_{\text{conocido}}}$ a partir de una única cuota identificada, permitiendo despejar cualquier otra parte o el monto total global.

Explicación en palabras simples

Cálculo de parte desconocida

A veces un problema no nos da el total a repartir, sino que nos dice cuánto recibió una de las partes:
- ¿Cómo lo resolvemos?
1. Hallamos la constante unitaria $k$ dividiendo esa parte conocida por su propio índice:
$$k = \frac{\text{Parte conocida}}{\text{Índice conocido}}$$
2. Calculamos cualquier otra parte multiplicando su índice por $k$:
$$\text{Parte desconocida} = c_B \cdot k$$
3. Si nos piden el total, sumamos todos los índices y los multiplicamos por $k$:
$$\text{Total } T = (c_A + c_B + c_C + \dots) \cdot k$$

Explicación formal

Sea un reparto proporcional definido por los índices $c_1, c_2, \dots, c_n$ donde se conoce el valor exacto de la componente $x_j$ para algún índice $j \in \{1, \dots, n\}$.

Despeje de la Constante del Sistema:
Por la propiedad fundamental de las razones:

$$k = \frac{x_j}{c_j} \in \mathbb{R}^+$$

Fórmulas de Reconstrucción:
1. Valor de cualquier otra parte $x_m$ ($m \neq j$):
$$x_m = c_m \cdot k = c_m \cdot \left(\frac{x_j}{c_j}\right)$$
2. Total global acumulado $T$:
$$T = \sum_{i=1}^{n} x_i = k \cdot \sum_{i=1}^{n} c_i = \left(\frac{x_j}{c_j}\right) \cdot \sum_{i=1}^{n} c_i$$

Comprueba tu avance ¿Cómo se calcula la constante unitaria k cuando se conoce una de las partes del reparto?

Definiciones clave

  • Parte testigo / conocida ($x_j$): Cuota de referencia a partir de la cual se desbloquea la constante $k$.
  • Reconstrucción de total: Deducción de $T$ mediante $T = k \cdot \sum c_i$.
  • Razón cruzada de partes: Proporción binaria $\frac{x_A}{c_A} = \frac{x_B}{c_B}$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Desacoplamiento del total: Permite resolver el reparto sin necesidad de que el total $T$ sea explicitado a priori.
  • Linealidad estricta: La diferencia entre dos partes satisface $\Delta x = (c_A - c_B) \cdot k$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de parte desconocida

En un reparto en razón $3 : 5$, si la persona $A$ recibe $\$18.000$, ¿cuánto recibe $B$? Además, en un reparto en razón $2 : 4 : 7$, si la menor de las partes es $\$14.000$, halle el total repartido.

  • Paso 1: Para la razón $3:5$: El índice de $A$ es $3$. Hallar $k = \frac{18000}{3} = $\$6.00$0$.
  • Paso 2: Calcular parte $B$: $B = 5 \cdot k = 5 \cdot 6.000 = $\$30.00$0$.
  • Paso 3: Para la razón $2:4:7$: La menor parte tiene índice $2 \implies 2k = 14.000 \implies k = \frac{14000}{2} = $\$7.00$0$.
  • Paso 4: Calcular total: Suma de índices $= 2 + 4 + 7 = 13 \implies \text{Total} = 13 \cdot 7.000 = $\$91.00$0$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿cómo se obtuvo el total de $91.000 a partir de la menor parte de $14.000?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la parte numérica conocida $x_j$ y su índice correspondiente $c_j$.
  • Paso 2: Despejar la constante unitaria dividiendo $k = \frac{x_j}{c_j}$.
  • Paso 3: Calcular las demás partes requeridas ($x_m = c_m \cdot k$) o el total global ($T = (\sum c_i) \cdot k$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir la parte conocida por la suma total de índices. Cómo corregirlo: La parte conocida $x_j$ SOLO se divide por su propio índice individual $c_j$ ($k = \frac{x_j}{c_j}$).
  • Error 2: Confundir una parte con la diferencia entre partes. Cómo corregirlo: Si el dato es una diferencia $x_A - x_B$, se debe dividir por $(c_A - c_B)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En un reparto en razón $4 : 7$, la parte mayor es $\$35.000$. ¿Cuánto vale la parte menor?
2 La diferencia entre dos partes en razón $3 : 8$ es $\$25.000$. ¿Cuál es el total repartido?
3 ¿Basta conocer una sola parte y su índice para reconstruir todo el reparto?
4 ¿Se puede calcular la constante k a partir de la diferencia entre dos partes?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asociar el valor numérico al índice incorrecto."
"Olvidar multiplicar por la suma total cuando se solicita el monto global."
"La diferencia entre dos cuotas es proporcional a la diferencia de sus índices."
"Confundir la parte individual con la diferencia entre partes."
"Conociendo una parte se puede calcular cualquier otra cuota o el total acumulado."
"Dividir el valor de la parte conocida entre la suma total de índices."
"La constante del reparto se obtiene mediante $k = \frac{x_j}{c_j}$."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo de parte desconocida

🎯 QUÉ Objetivo

Reconstruir partes desconocidas o el total repartido a partir de datos parciales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Despejando la constante unitaria $k = \frac{x_{\text{conocido}}}{c_{\text{conocido}}}$ y calculando las cuotas restantes ($x_m = c_m \cdot k$) o el total global ($T = (\sum c_i) \cdot k$).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v1)

  2. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v2)

  3. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En un reparto a razones 3 y 4, la primera parte recibe 600. La constante $K$ es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

  2. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

  3. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v1)

  2. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v2)

  3. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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