Cálculo de una parte desconocida en reparto proporcional

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de una parte desconocida en un reparto proporcional reconstruye la constante unitaria $k = \frac{x_{\text{conocido}}}{c_{\text{conocido}}}$ a partir de una única cuota identificada, permitiendo despejar cualquier otra parte o el monto total global.

Explicación en palabras simples

Cálculo de parte desconocida

A veces un problema no nos da el total a repartir, sino que nos dice cuánto recibió una de las partes:
- ¿Cómo lo resolvemos?
1. Hallamos la constante unitaria $k$ dividiendo esa parte conocida por su propio índice:
$$k = \frac{\text{Parte conocida}}{\text{Índice conocido}}$$
2. Calculamos cualquier otra parte multiplicando su índice por $k$:
$$\text{Parte desconocida} = c_B \cdot k$$
3. Si nos piden el total, sumamos todos los índices y los multiplicamos por $k$:
$$\text{Total } T = (c_A + c_B + c_C + \dots) \cdot k$$

Explicación formal

Sea un reparto proporcional definido por los índices $c_1, c_2, \dots, c_n$ donde se conoce el valor exacto de la componente $x_j$ para algún índice $j \in \{1, \dots, n\}$.

Despeje de la Constante del Sistema:
Por la propiedad fundamental de las razones:

$$k = \frac{x_j}{c_j} \in \mathbb{R}^+$$

Fórmulas de Reconstrucción:
1. Valor de cualquier otra parte $x_m$ ($m \neq j$):
$$x_m = c_m \cdot k = c_m \cdot \left(\frac{x_j}{c_j}\right)$$
2. Total global acumulado $T$:
$$T = \sum_{i=1}^{n} x_i = k \cdot \sum_{i=1}^{n} c_i = \left(\frac{x_j}{c_j}\right) \cdot \sum_{i=1}^{n} c_i$$

Comprueba tu avance ¿Cómo se calcula la constante unitaria k cuando se conoce una de las partes del reparto?

Definiciones clave

  • Parte testigo / conocida ($x_j$): Cuota de referencia a partir de la cual se desbloquea la constante $k$.
  • Reconstrucción de total: Deducción de $T$ mediante $T = k \cdot \sum c_i$.
  • Razón cruzada de partes: Proporción binaria $\frac{x_A}{c_A} = \frac{x_B}{c_B}$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Desacoplamiento del total: Permite resolver el reparto sin necesidad de que el total $T$ sea explicitado a priori.
  • Linealidad estricta: La diferencia entre dos partes satisface $\Delta x = (c_A - c_B) \cdot k$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de parte desconocida

En un reparto en razón $3 : 5$, si la persona $A$ recibe $\$18.000$, ¿cuánto recibe $B$? Además, en un reparto en razón $2 : 4 : 7$, si la menor de las partes es $\$14.000$, halle el total repartido.

  • Paso 1: Para la razón $3:5$: El índice de $A$ es $3$. Hallar $k = \frac{18000}{3} = $\$6.00$0$.
  • Paso 2: Calcular parte $B$: $B = 5 \cdot k = 5 \cdot 6.000 = $\$30.00$0$.
  • Paso 3: Para la razón $2:4:7$: La menor parte tiene índice $2 \implies 2k = 14.000 \implies k = \frac{14000}{2} = $\$7.00$0$.
  • Paso 4: Calcular total: Suma de índices $= 2 + 4 + 7 = 13 \implies \text{Total} = 13 \cdot 7.000 = $\$91.00$0$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿cómo se obtuvo el total de $91.000 a partir de la menor parte de $14.000?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la parte numérica conocida $x_j$ y su índice correspondiente $c_j$.
  • Paso 2: Despejar la constante unitaria dividiendo $k = \frac{x_j}{c_j}$.
  • Paso 3: Calcular las demás partes requeridas ($x_m = c_m \cdot k$) o el total global ($T = (\sum c_i) \cdot k$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir la parte conocida por la suma total de índices. Cómo corregirlo: La parte conocida $x_j$ SOLO se divide por su propio índice individual $c_j$ ($k = \frac{x_j}{c_j}$).
  • Error 2: Confundir una parte con la diferencia entre partes. Cómo corregirlo: Si el dato es una diferencia $x_A - x_B$, se debe dividir por $(c_A - c_B)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En un reparto en razón $4 : 7$, la parte mayor es $\$35.000$. ¿Cuánto vale la parte menor?
2 La diferencia entre dos partes en razón $3 : 8$ es $\$25.000$. ¿Cuál es el total repartido?
3 ¿Basta conocer una sola parte y su índice para reconstruir todo el reparto?
4 ¿Se puede calcular la constante k a partir de la diferencia entre dos partes?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asociar el valor numérico al índice incorrecto."
"La constante del reparto se obtiene mediante $k = \frac{x_j}{c_j}$."
"Olvidar multiplicar por la suma total cuando se solicita el monto global."
"La diferencia entre dos cuotas es proporcional a la diferencia de sus índices."
"Confundir la parte individual con la diferencia entre partes."
"Conociendo una parte se puede calcular cualquier otra cuota o el total acumulado."
"Dividir el valor de la parte conocida entre la suma total de índices."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo de parte desconocida

🎯 QUÉ Objetivo

Reconstruir partes desconocidas o el total repartido a partir de datos parciales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Despejando la constante unitaria $k = \frac{x_{\text{conocido}}}{c_{\text{conocido}}}$ y calculando las cuotas restantes ($x_m = c_m \cdot k$) o el total global ($T = (\sum c_i) \cdot k$).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v1)

  2. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v2)

  3. Si en un reparto conoces el monto que recibió una persona y su índice de proporción asociado, puedes hallar la 'constante de reparto' mediante: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En un reparto a razones 3 y 4, la primera parte recibe 600. La constante $K$ es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

  2. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

  3. ¿Si en proporción 2:5 la parte menor recibe 100, la mayor recibe 250?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v1)

  2. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v2)

  3. Una empresa reparte utilidades a tres departamentos en proporción a sus ventas: $3$, $4$ y $7$ (en millones). Si el departamento que más vendió recibió un bono de utilidades de $\$3.500.000$, ¿cuál fue el monto total repartido por la empresa? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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