Cálculo de reparto proporcional inverso

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

El reparto proporcional inverso distribuye una cantidad $T$ en partes inversamente proporcionales a $c_1, c_2, \dots, c_n$, lo cual equivale a realizar un reparto proporcional directo respecto a los recíprocos $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \dots, \frac{1}{c_n}$.

Explicación en palabras simples

Reparto proporcional inverso

En el reparto proporcional inverso, el que tiene el índice más bajo recibe la cuota más grande:
- Se usa comúnmente en premios por menor cantidad de faltas, menos tardanzas o menor tiempo de carrera.
- Método estándar en 3 pasos:
1. Invertir cada índice: Los índices $c_1, c_2, c_3$ se convierten en fracciones recíprocas $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \frac{1}{c_3}$.
2. Multiplicar por el MCM: Multiplicamos todas las fracciones por el mínimo común múltiplo para convertirlas en números enteros directos.
3. Aplicar reparto directo estándar: Calculamos la constante $k$ con los nuevos enteros y multiplicamos.

Explicación formal

Sea la cantidad total $T \in \mathbb{R}^+$ sujeta a partición en sumandos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = T \quad \text{y} \quad x_1 \cdot c_1 = x_2 \cdot c_2 = \dots = x_n \cdot c_n = k_{\text{inv}}$$

Teorema de Reducción a Reparto Directo:
Reescribiendo la condición de producto:

$$\frac{x_1}{1/c_1} = \frac{x_2}{1/c_2} = \dots = \frac{x_n}{1/c_n} = k_{\text{inv}}$$

Multiplicando los denominadores por $M = \operatorname{mcm}(c_1, \dots, c_n)$, se obtienen índices enteros equivalentes $c'_i = \frac{M}{c_i}$, reduciendo el problema a:

$$k = \frac{T}{\sum_{i=1}^{n} c'_i} \implies x_i = c'_i \cdot k \quad (\forall i)$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es el paso algebraico clave para resolver un reparto proporcional inverso?

Definiciones clave

  • Reparto inverso: Distribución donde $x_i \cdot c_i = \text{constante}$.
  • Índices recíprocos: Fracciones $\frac{1}{c_i}$.
  • MCM transformador: Mínimo común múltiplo empleado para eliminar denominadores.

Propiedades y relaciones importantes

  • Monotonía inversa: $c_i < c_j \implies x_i > x_j$.
  • Equivalencia directa: Todo reparto inverso de orden $n$ es isomorfo a un reparto directo con índices transformados $c'_i$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de reparto inverso

Reparta un premio de $\$260.000$ de forma inversamente proporcional a las faltas cometidas por tres empleados: $2$, $3$ y $4$ faltas, y determine cuánto recibe cada uno en un bono de $\$90.000$ con $1$ y $2$ faltas.

  • Paso 1: Para $2, 3, 4$ faltas: Invertir a $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$.
  • Paso 2: Hallar $\operatorname{mcm}(2,3,4) = 12$ y multiplicar: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$, $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$, $12 \cdot \frac{1}{4} = 3$ (suma $= 13$).
  • Paso 3: Calcular $k = \frac{260000}{13} = $\$20.00$0$. Partes: $6k = $\$120.00$0$, $4k = $\$80.00$0$, $3k = $\$60.00$0$.
  • Paso 4: Para $1$ y $2$ faltas: Invertir a $1$ y $\frac{1}{2}$ (MCM $= 2 \implies 2$ y $1$, suma $= 3$). $k = \frac{90000}{3} = $\$30.000$ \implies $\$60.00$0$ y $\$30.000$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué el empleado con 2 faltas recibió más dinero ($120.000) que el de 4 faltas ($60.000)?

Procedimiento

  • Paso 1: Escribir los inversos multiplicativos $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \dots, \frac{1}{c_n}$.
  • Paso 2: Calcular el $\operatorname{mcm}$ de los denominadores y multiplicar cada fracción por el $\operatorname{mcm}$ para obtener enteros $c'_i$.
  • Paso 3: Efectuar el reparto directo clásico con los índices enteros: $k = \frac{T}{\sum c'_i}$ y $x_i = c'_i \cdot k$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Repartir directo con los números originales. Cómo corregirlo: En el reparto inverso DEBEN invertirse los índices a $\frac{1}{c_i}$.
  • Error 2: No amplificar por el mismo MCM a todas las fracciones. Cómo corregirlo: Multiplicar CADA recíproco estrictamente por el mismo valor del $\operatorname{mcm}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Repartir $\$100.000$ inversamente a $2$ y $3$. ¿Cuánto recibe el primero?
2 En una carrera se reparten $\$33.000$ inversamente a los puestos $1$, $2$ y $3$. ¿Cuánto recibe el 1° lugar?
3 ¿Recibe la mayor parte quien tiene el menor índice en un reparto inverso?
4 ¿Equivale el reparto inverso a un reparto directo de los recíprocos 1/c?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No comprobar la suma del total final."
"Sumar denominadores de forma incorrecta al sacar el MCM."
"Asignar la mayor cantidad al número original más alto."
"Se resuelve transformando los índices a sus recíprocos $\frac{1}{c_i}$ y multiplicando por el MCM."
"El reparto inverso asigna cuotas mayores a los índices numéricos más bajos."
"Repartir directamente sin invertir los coeficientes."
"La suma de las partes calculadas es exactamente igual a la cantidad total repartida."

Al terminar debes poder

Síntesis de reparto inverso

🎯 QUÉ Objetivo

Resolver problemas de reparto proporcional inverso en contextos reales de optimización y premios.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Invirtiendo los índices a $\frac{1}{c_i}$, amplificándolos por el $\operatorname{mcm}$ a coeficientes enteros $c'_i$ y ejecutando el reparto directo con $k = \frac{T}{\sum c'_i}$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v1)

  2. El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v2)

  3. El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si debo repartir algo de forma inversa a los números 4 y 5, los nuevos índices fraccionarios serán:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?

  2. ¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?

  3. ¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v1)

  2. Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v2)

  3. Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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