Cálculo de reparto proporcional inverso
Calcular partes de un todo utilizando el reparto proporcional inverso.
Introducción
¿Cómo repartir un premio a la puntualidad? Quien tenga MÁS faltas debe recibir MENOS premio. En estos casos el reparto directo es injusto, debemos usar el reparto inverso.
Explicación
El reparto inverso consiste en distribuir una cantidad $T$ de forma inversamente proporcional a los índices $a, b, c$.
El truco matemático para no enredarse es transformar el reparto inverso en uno directo. Para hacerlo, simplemente invertimos los índices (calcular sus recíprocos):
- Índice $a \rightarrow$ Nuevo índice: $1/a$
- Índice $b \rightarrow$ Nuevo índice: $1/b$
Una vez tienes los nuevos índices fraccionarios, haces el procedimiento del reparto directo: los sumas, divides el total por esa suma para obtener $K$, y multiplicas $K$ por cada fracción.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Invierte los índices originales ($3 \rightarrow 1/3$).
- Paso 2: Suma estas nuevas fracciones.
- Paso 3: Divide el Total por esa suma fraccionaria para obtener $K$.
- Paso 4: Multiplica cada índice fraccionario por $K$.
Ejemplos
1 Repartir $220.000 en forma inversamente proporcional a las faltas de Juan (2 faltas) y Pedro (10 faltas).
- Índices inversos: $1/2$ para Juan, $1/10$ para Pedro.
- Suma de fracciones: $1/2 + 1/10 = 5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/5$.
- Calculamos K: $220.000 / (3/5) = 220.000 \cdot 5 / 3 = 1.100.000 / 3 = 366.666$ (aprox).
- Wait, hagamos un ejemplo más amigable: Total 120. Suma = 3/5. K = 120 / (3/5) = 200. Juan = 200 * 1/2 = 100. Pedro = 200 * 1/10 = 20. Total 120.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar los índices en lugar de invertirlos fraccionariamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar los índices originales y luego tratar de repartir usando división, lo que genera errores de proporción."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el que tiene el número más pequeño DEBE llevarse la mayor parte."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El reparto inverso distribuye un total de forma que, a mayor índice, menor cantidad recibida. Se resuelve invirtiendo matemáticamente los índices ($1/a$) y luego realizando un reparto directo normal con esos nuevos índices fraccionarios.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v1)
Convertir a directo mediante recíprocos es el método algorítmico seguro.
Respuesta: A) Invertir los índices (escribirlos como $1/a, 1/b$) y luego hacer un reparto directo con ellos.
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El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v2)
Convertir a directo mediante recíprocos es el método algorítmico seguro.
Respuesta: A) Invertir los índices (escribirlos como $1/a, 1/b$) y luego hacer un reparto directo con ellos.
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El método estándar para resolver un reparto inversamente proporcional consiste en: (v3)
Convertir a directo mediante recíprocos es el método algorítmico seguro.
Respuesta: A) Invertir los índices (escribirlos como $1/a, 1/b$) y luego hacer un reparto directo con ellos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si debo repartir algo de forma inversa a los números 4 y 5, los nuevos índices fraccionarios serán:
El inverso multiplicativo de un número n es 1/n.
Respuesta: A) $1/4$ y $1/5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?
$1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6$.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?
$1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La suma de los índices inversos de 2 y 3 es $5/6$?
$1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v1)
Índices: $1/20, 1/24, 1/30$. MCM = 120. $6/120, 5/120, 4/120$. Suma = $15/120$. K = 39M / (15/120) = 39M * 120 / 15 = 39M * 8 = 312M. (Demasiado grande? No, K es la masa. El nieto 20 recibe K * 1/20 = 312M / 20 = 15.6M? Espera. Revisemos.
Índices simplificables a enteros: multiplicamos todos por 120. Quedan 6, 5, 4. Suma = 15.
K' = 39.000.000 / 15 = 2.600.000.
Nieto 20 años tiene índice equivalente 6.
$6 * 2.600.000 = 15.600.000$.
Revisemos de nuevo: $15.6 + 13 + 10.4 = 39$.
Oh, mis alternativas no tienen 15.6M. Ajustaré el Total de Herencia a un número fácil.
Si suma índices es 15, digamos Total = 45M. K' = 3M. Nieto 20 (índice 6) = 18M.
Ajustaré el prompt a 45M en código.Respuesta: A) $\$18.000.000$
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Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v2)
Índices: $1/20, 1/24, 1/30$. MCM = 120. $6/120, 5/120, 4/120$. Suma = $15/120$. K = 39M / (15/120) = 39M * 120 / 15 = 39M * 8 = 312M. (Demasiado grande? No, K es la masa. El nieto 20 recibe K * 1/20 = 312M / 20 = 15.6M? Espera. Revisemos.
Índices simplificables a enteros: multiplicamos todos por 120. Quedan 6, 5, 4. Suma = 15.
K' = 39.000.000 / 15 = 2.600.000.
Nieto 20 años tiene índice equivalente 6.
$6 * 2.600.000 = 15.600.000$.
Revisemos de nuevo: $15.6 + 13 + 10.4 = 39$.
Oh, mis alternativas no tienen 15.6M. Ajustaré el Total de Herencia a un número fácil.
Si suma índices es 15, digamos Total = 45M. K' = 3M. Nieto 20 (índice 6) = 18M.
Ajustaré el prompt a 45M en código.Respuesta: A) $\$18.000.000$
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Un abuelo deja una herencia de $\$45.000.000$ a sus tres nietos, pero indica que se reparta de forma inversamente proporcional a las edades que tienen: $20, 24$ y $30$ años. ¿Cuánto dinero recibirá el nieto de $20$ años? (v3)
Índices: $1/20, 1/24, 1/30$. MCM = 120. $6/120, 5/120, 4/120$. Suma = $15/120$. K = 39M / (15/120) = 39M * 120 / 15 = 39M * 8 = 312M. (Demasiado grande? No, K es la masa. El nieto 20 recibe K * 1/20 = 312M / 20 = 15.6M? Espera. Revisemos.
Índices simplificables a enteros: multiplicamos todos por 120. Quedan 6, 5, 4. Suma = 15.
K' = 39.000.000 / 15 = 2.600.000.
Nieto 20 años tiene índice equivalente 6.
$6 * 2.600.000 = 15.600.000$.
Revisemos de nuevo: $15.6 + 13 + 10.4 = 39$.
Oh, mis alternativas no tienen 15.6M. Ajustaré el Total de Herencia a un número fácil.
Si suma índices es 15, digamos Total = 45M. K' = 3M. Nieto 20 (índice 6) = 18M.
Ajustaré el prompt a 45M en código.Respuesta: A) $\$18.000.000$