Cálculo de reparto proporcional directo

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El reparto proporcional directo distribuye una cantidad total $T$ en partes $x_1, x_2, \dots, x_n$ proporcionales a una serie de índices $c_1, c_2, \dots, c_n$, calculando la cuota unitaria $k = \frac{T}{\sum c_i}$ y asignando a cada parte $x_i = c_i \cdot k$.

Explicación en palabras simples

Reparto proporcional directo

El reparto proporcional directo consiste en repartir una cantidad total $T$ de manera justa entre varios participantes, donde a mayor índice (horas trabajadas, dinero aportado o edad), mayor es la parte recibida:

  1. Paso 1: Sumar todos los índices de reparto:
    $$S = c_1 + c_2 + c_3 + \dots$$
  2. Paso 2: Calcular la constante unitaria $k$ (el valor de cada parte):
    $$k = \frac{\text{Total } T}{c_1 + c_2 + c_3 + \dots}$$
  3. Paso 3: Calcular cada parte individual:
    $$\text{Parte } 1 = c_1 \cdot k, \quad \text{Parte } 2 = c_2 \cdot k, \quad \text{Parte } 3 = c_3 \cdot k$$
  4. Comprobación: La suma de todas las partes obtenidas DEBE ser exactamente igual al total $T$ repartido.

Explicación formal

Sea una cantidad escalar $T \in \mathbb{R}^+$ que se desea particionar en $n$ sumandos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = T \quad \text{y} \quad \frac{x_1}{c_1} = \frac{x_2}{c_2} = \dots = \frac{x_n}{c_n} = k \quad (c_i \in \mathbb{R}^+, \forall i)$$

Teorema Fundamental del Reparto Directo:
Por la propiedad de la serie de razones iguales:

$$k = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{\sum_{i=1}^{n} c_i} = \frac{T}{\sum_{i=1}^{n} c_i}$$

de donde se deduce unívocamente la asignación para cada componente:

$$x_i = c_i \cdot \left(\frac{T}{\sum_{j=1}^{n} c_j}\right) \quad (\forall i \in \{1, \dots, n\})$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular la constante unitaria $k$ en un reparto proporcional directo?

Definiciones clave

  • Total a repartir ($T$): Magnitud global sujeta a partición proporcional.
  • Índices de reparto ($c_i$): Coeficientes que determinan el peso relativo de cada cuota.
  • Constante unitaria ($k$): Cociente $k = \frac{T}{\sum c_i}$ que representa el valor de 1 unidad de índice.

Propiedades y relaciones importantes

  • Conservación aditiva: $\sum x_i = T$ de forma estricta.
  • Invarianza por escala: Si todos los índices $c_i$ se simplifican o multiplican por una constante común $m$, las partes resultantes $x_i$ permanecen idénticas.

Ejemplo guiado

Ejemplos de reparto directo

Reparta $\$100.000$ entre tres personas en razón $2 : 3 : 5$, y calcule cuánto le corresponde a dos hermanos de $12$ y $16$ años si se reparten $\$72.000$ directamente proporcional a sus edades.

  • Paso 1: Para el reparto $2:3:5$: Suma de índices $= 2 + 3 + 5 = 10$.
  • Paso 2: Calcular cuota $k = \frac{100000}{10} = $\$10.00$0$. Partes: $2k = $\$20.00$0$, $3k = $\$30.00$0$, $5k = $\$50.00$0$.
  • Paso 3: Para las edades: Simplificar razón $12 : 16 \implies 3 : 4$ (suma $= 7$).
  • Paso 4: Calcular $k = \frac{72000}{7} \implies 3k = $\$30.85$7$ y $4k = $\$41.14$3$ (suma $= $\$72.00$0$).
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué la persona con índice 5 recibió $50.000 del total de $100.000?

Procedimiento

  • Paso 1: Sumar todos los coeficientes o índices de reparto $S = c_1 + c_2 + \dots + c_n$.
  • Paso 2: Dividir el total $T$ entre la suma $S$ para hallar la constante unitaria $k = \frac{T}{S}$.
  • Paso 3: Multiplicar cada índice individual por $k$ ($x_i = c_i \cdot k$) y verificar que la suma coincida con $T$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir entre el número de personas en vez de la suma de partes. Cómo corregirlo: La división es $k = \frac{T}{\sum c_i}$ (ponderada por los índices).
  • Error 2: Olvidar comprobar la suma. Cómo corregirlo: Sumar $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ para asegurar que dé exactamente $T$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Repartir $\$60.000$ entre dos socios en razón $1 : 3$. ¿Cuánto recibe el segundo socio?
2 Tres agricultores aportan $2$, $3$ y $5\text{ hectáreas}$. Si reciben un subsidio total de $\$800.000$, ¿cuánto recibe el primero?
3 ¿Es la suma de las partes siempre igual al total repartido?
4 ¿Se pueden simplificar los índices de reparto antes de calcular k?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No verificar la suma de las partes resultantes."
"Asignar la mayor cuota al menor índice."
"En el reparto directo, a mayor índice corresponde mayor parte asignada."
"La constante unitaria se obtiene mediante $k = \frac{T}{\sum c_i}$."
"Cometer errores de cálculo en la suma de los índices."
"Dividir el total entre la cantidad de participantes ignorando las ponderaciones."
"La suma de todas las partes obtenidas es estrictamente igual al total repartido."

Al terminar debes poder

Síntesis de reparto directo

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular repartos proporcionales directos de cantidades continuas o discretas.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Determinando la constante unitaria $k = \frac{T}{\sum c_i}$ y multiplicándola por cada índice de reparto $x_i = c_i \cdot k$, verificando la conservación $\sum x_i = T$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En un reparto proporcional directo, para encontrar la 'constante de reparto' o valor de una cuota, se debe: (v1)

  2. En un reparto proporcional directo, para encontrar la 'constante de reparto' o valor de una cuota, se debe: (v3)

  3. En un reparto proporcional directo, para encontrar la 'constante de reparto' o valor de una cuota, se debe: (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si reparto 100 en partes directamente proporcionales a 2 y 3, la suma de los índices es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Repartir 500 proporcionalmente a 1 y 4 le otorga 100 al primero y 400 al segundo?

  2. ¿Repartir 500 proporcionalmente a 1 y 4 le otorga 100 al primero y 400 al segundo?

  3. ¿Repartir 500 proporcionalmente a 1 y 4 le otorga 100 al primero y 400 al segundo?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Tres socios invierten en un negocio: el primero $\$2.000.000$, el segundo $\$3.000.000$ y el tercero $\$5.000.000$. Si al cabo de un año tienen una ganancia de $\$1.500.000$, ¿cuánto dinero de la ganancia le corresponde al tercer socio mediante un reparto proporcional directo a la inversión? (v1)

  2. Tres socios invierten en un negocio: el primero $\$2.000.000$, el segundo $\$3.000.000$ y el tercero $\$5.000.000$. Si al cabo de un año tienen una ganancia de $\$1.500.000$, ¿cuánto dinero de la ganancia le corresponde al tercer socio mediante un reparto proporcional directo a la inversión? (v2)

  3. Tres socios invierten en un negocio: el primero $\$2.000.000$, el segundo $\$3.000.000$ y el tercero $\$5.000.000$. Si al cabo de un año tienen una ganancia de $\$1.500.000$, ¿cuánto dinero de la ganancia le corresponde al tercer socio mediante un reparto proporcional directo a la inversión? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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