Uso de la descomposición proporcional
Resumen inicial
La descomposición de una proporción establece que al restar a cada antecedente su respectivo consecuente, la proporción se mantiene invariante: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ (o sobre $a$ y $c$).
Explicación en palabras simples
La descomposición de una proporción consiste en restar el denominador al numerador en ambos lados:
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$$
- ¿Por qué funciona? Porque equivale a restar $1$ a ambos miembros de la ecuación ($-1$).
- ¿Para qué sirve? Es la herramienta ideal cuando conocemos la diferencia o resta de dos incógnitas:
- Si sabemos que $\frac{x}{y} = \frac{7}{3}$ y que $x - y = 12$:
- Aplicamos descomposición: $\frac{x - y}{y} = \frac{7 - 3}{3} \implies \frac{12}{y} = \frac{4}{3}$.
- Despejamos $y = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9$, y por tanto $x = 9 + 12 = 21$.
Explicación formal
Teorema de Descomposición de Proporciones:
Sea la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ con $b, d \neq 0$. Entonces se verifican las siguientes identidades de descomposición:
-
Descomposición respecto a consecuentes:
$$\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$$ -
Descomposición respecto a antecedentes ($a, c \neq 0$):
$$\frac{a - b}{a} = \frac{c - d}{c}$$
Demostración:
Restando $1$ a ambos miembros de la igualdad inicial:
$$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 \iff \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \quad \blacksquare$$
Composición y Descomposición Simultánea:
Dividiendo ambas propiedades término a término se obtiene:
$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} \quad (a \neq b, c \neq d)$$
La alternativa correcta es '$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$'.
Definiciones clave
- Descomposición proporcional: Transformación por sustracción de denominadores a numeradores.
- Diferencia de términos: Estructura $a - b$ y $c - d$.
- Composición y descomposición simultánea: Relación $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Preservación de signo: Si $a > b$, entonces $c > d$ y ambos numeradores resultan positivos.
- Desacoplamiento de diferencias: Resuelve sistemas donde se da la diferencia entre dos variables.
Ejemplo guiado
Encuentre los valores de $x$ e $y$ sabiendo que $\frac{x}{y} = \frac{7}{3}$ y que $x - y = 12$, y verifique la descomposición en $\frac{10}{4} = \frac{15}{6}$.
- Paso 1: Para el sistema con $x-y=12$: Aplicar descomposición $\frac{x-y}{y} = \frac{7-3}{3}$.
- Paso 2: Sustituir la diferencia conocida: $\frac{12}{y} = \frac{4}{3}$.
- Paso 3: Despejar $y$: $y = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9$.
- Paso 4: Calcular $x$: $x = y + 12 = 9 + 12 = 21$.
- Paso 5: Para la verificación: $\frac{10-4}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$ y $\frac{15-6}{6} = \frac{9}{6} = 1,5$ (¡coinciden!).
La alternativa correcta es 'Comprobando que $\frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ y que $21 - 9 = 12$'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la proporción original $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.
- Paso 2: Aplicar la propiedad de descomposición restando denominadores a numeradores: $\frac{x-y}{y} = \frac{a-b}{b}$.
- Paso 3: Sustituir la diferencia conocida $(x-y)$ y despejar la variable mediante producto cruzado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Restar en orden inverso ($b - a$ en vez de $a - b$). Cómo corregirlo: Si se resta numerador menos denominador en la izquierda ($x - y$), se DEBE restar en el mismo orden en la derecha ($a - b$).
- Error 2: Olvidar restar en ambos miembros. Cómo corregirlo: La operación $-1$ aplica simultáneamente a ambos lados de la igualdad.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{x-y}{y} = \frac{5-2}{2} \implies \frac{18}{y} = \frac{3}{2} \implies y = 12$. Luego $x = 12 + 18 = 30$.
- $\frac{8-3}{3} = \frac{5}{3}$ y $\frac{16-6}{6} = \frac{10}{6}$.
- Sí, $\frac{a}{b} - 1 = \frac{a-b}{b}$ y $\frac{c}{d} - 1 = \frac{c-d}{d}$.
- Sí, es la herramienta complementaria a la composición para resolver restas de incógnitas.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad de descomposición de proporciones para resolver sistemas con diferencias conocidas.
Transformando la proporción en $\frac{x-y}{y} = \frac{a-b}{b}$, sustituyendo la diferencia $x-y$ y despejando la incógnita mediante producto cruzado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿En qué consiste la descomposición de una proporción? (v1)
Se expresa como $(a-b)/b$.
Respuesta: A) Restar el consecuente al antecedente, manteniendo el consecuente.
-
¿En qué consiste la descomposición de una proporción? (v2)
Se expresa como $(a-b)/b$.
Respuesta: A) Restar el consecuente al antecedente, manteniendo el consecuente.
-
¿En qué consiste la descomposición de una proporción? (v3)
Se expresa como $(a-b)/b$.
Respuesta: A) Restar el consecuente al antecedente, manteniendo el consecuente.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Dada $a/b = c/d$, su forma por descomposición es:
Restar denominador en numerador.
Respuesta: A) $(a-b)/b = (c-d)/d$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Al descomponer $7/3 = 14/6$ resulta $4/3 = 8/6$?
$(7-3)/3 = 4/3$ y $(14-6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Al descomponer $7/3 = 14/6$ resulta $4/3 = 8/6$?
$(7-3)/3 = 4/3$ y $(14-6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Al descomponer $7/3 = 14/6$ resulta $4/3 = 8/6$?
$(7-3)/3 = 4/3$ y $(14-6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Dos hermanos reciben herencia en razón $7:4$. Si la diferencia entre lo que reciben es de $300.000$ pesos, ¿qué expresión de descomposición sirve para hallar lo del hermano menor ($m$)? (v1)
$(H-m)/m = (7-4)/4$. Como la diferencia es 300.000, $300.000/m = 3/4$.
Respuesta: A) $300.000 / m = (7-4) / 4$
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Dos hermanos reciben herencia en razón $7:4$. Si la diferencia entre lo que reciben es de $300.000$ pesos, ¿qué expresión de descomposición sirve para hallar lo del hermano menor ($m$)? (v2)
$(H-m)/m = (7-4)/4$. Como la diferencia es 300.000, $300.000/m = 3/4$.
Respuesta: A) $300.000 / m = (7-4) / 4$
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Dos hermanos reciben herencia en razón $7:4$. Si la diferencia entre lo que reciben es de $300.000$ pesos, ¿qué expresión de descomposición sirve para hallar lo del hermano menor ($m$)? (v3)
$(H-m)/m = (7-4)/4$. Como la diferencia es 300.000, $300.000/m = 3/4$.
Respuesta: A) $300.000 / m = (7-4) / 4$