Uso de la composición proporcional
Resumen inicial
La composición de una proporción establece que al sumar a cada antecedente su respectivo consecuente, la proporción se mantiene invariante: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ (o sobre $a$ y $c$).
Explicación en palabras simples
La composición de una proporción consiste en sumar el denominador al numerador en ambos lados:
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$$
- ¿Por qué funciona? Porque equivale a sumar $1$ a ambos miembros de la ecuación ($+1$).
- ¿Para qué sirve? Es la herramienta ideal para resolver problemas donde conocemos la suma de dos incógnitas:
- Si sabemos que $\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$ y que $x + y = 35$:
- Aplicamos composición: $\frac{x + y}{y} = \frac{2 + 5}{5} \implies \frac{35}{y} = \frac{7}{5}$.
- Despejamos $y = \frac{35 \cdot 5}{7} = 25$, y por tanto $x = 10$.
Explicación formal
Teorema de Composición de Proporciones:
Sea la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ con $b, d \neq 0$. Entonces se verifican las siguientes identidades de composición:
-
Composición respecto a consecuentes:
$$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$$ -
Composición respecto a antecedentes ($a, c \neq 0$):
$$\frac{a + b}{a} = \frac{c + d}{c}$$
Demostración:
Sumando $1$ a ambos miembros de la igualdad inicial:
$$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \iff \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \quad \blacksquare$$
La alternativa correcta es '$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$'.
Definiciones clave
- Composición proporcional: Transformación por adición de denominadores a numeradores.
- Suma de términos: Estructura $a + b$ y $c + d$.
- Invarianza de igualdad: Preservación de la equivalencia matemática tras sumar 1.
Propiedades y relaciones importantes
- Combinación con alternancia: $\frac{a + b}{c + d} = \frac{b}{d} = \frac{a}{c}$.
- Despeje simultáneo: Permite desacoplar sistemas lineales de 2 incógnitas con razones.
Ejemplo guiado
Encuentre los valores de $x$ e $y$ sabiendo que $\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$ y que $x + y = 35$, y verifique la composición en la proporción $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$.
- Paso 1: Para el sistema con $x+y=35$: Aplicar composición $\frac{x+y}{y} = \frac{2+5}{5}$.
- Paso 2: Sustituir la suma conocida: $\frac{35}{y} = \frac{7}{5}$.
- Paso 3: Despejar $y$: $y = \frac{35 \cdot 5}{7} = 25$.
- Paso 4: Calcular $x$: $x = 35 - 25 = 10$.
- Paso 5: Para la verificación: $\frac{3+4}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$ y $\frac{6+8}{8} = \frac{14}{8} = 1,75$ (¡coinciden!).
La alternativa correcta es 'Porque al resolver $\frac{35}{y} = \frac{7}{5}$ se tiene $y = \frac{35 \times 5}{7} = 25$'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la proporción original $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.
- Paso 2: Aplicar la propiedad de composición sumando denominadores a numeradores: $\frac{x+y}{y} = \frac{a+b}{b}$.
- Paso 3: Sustituir el valor conocido de la suma $(x+y)$ y despejar la variable $y$ mediante producto cruzado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar en un solo miembro ($?rac{x+y}{y} = ?rac{a}{b}$). Cómo corregirlo: La adición del consecuente se debe realizar en AMBOS miembros: $\frac{x+y}{y} = \frac{a+b}{b}$.
- Error 2: Cambiar el denominador. Cómo corregirlo: El denominador se mantiene intacto tras la suma.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{a+b}{b} = \frac{3+4}{4} \implies \frac{28}{b} = \frac{7}{4} \implies b = 16$. Luego $a = 28 - 16 = 12$.
- $\frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$ y $\frac{4+6}{4} = \frac{10}{4}$.
- Sí, es la demostración matemática formal de la propiedad.
- Sí, es el método algebraico estándar para incorporar la suma de incógnitas.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la propiedad de composición de proporciones para resolver sistemas con sumas conocidas.
Transformando la proporción en $\frac{x+y}{y} = \frac{a+b}{b}$, sustituyendo la suma $x+y$ y despejando la incógnita mediante producto cruzado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué afirma la propiedad de composición respecto a $a/b = c/d$? (v1)
Corresponde a sumar el denominador al numerador.
Respuesta: A) Que $(a+b)/b = (c+d)/d$.
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¿Qué afirma la propiedad de composición respecto a $a/b = c/d$? (v2)
Corresponde a sumar el denominador al numerador.
Respuesta: A) Que $(a+b)/b = (c+d)/d$.
-
¿Qué afirma la propiedad de composición respecto a $a/b = c/d$? (v3)
Corresponde a sumar el denominador al numerador.
Respuesta: A) Que $(a+b)/b = (c+d)/d$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si $x/y = 5/2$, aplicando composición con respecto al denominador, se obtiene:
$(x+y)/y = (5+2)/2 = 7/2$.
Respuesta: A) $(x+y)/y = 7/2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Aplicar composición a $1/3 = 2/6$ genera $4/3 = 8/6$?
$(1+3)/3 = 4/3$ y $(2+6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
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¿Aplicar composición a $1/3 = 2/6$ genera $4/3 = 8/6$?
$(1+3)/3 = 4/3$ y $(2+6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Aplicar composición a $1/3 = 2/6$ genera $4/3 = 8/6$?
$(1+3)/3 = 4/3$ y $(2+6)/6 = 8/6$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una empresa la razón entre gerentes y empleados es $1:15$. Si sabemos que en total hay $64$ trabajadores, ¿qué ecuación de composición permite hallar a los gerentes ($g$) sabiendo que $e$ son empleados? (v1)
Aplica la propiedad con respecto a los gerentes.
Respuesta: A) $(g+e)/g = (1+15)/1 \implies 64/g = 16/1$
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En una empresa la razón entre gerentes y empleados es $1:15$. Si sabemos que en total hay $64$ trabajadores, ¿qué ecuación de composición permite hallar a los gerentes ($g$) sabiendo que $e$ son empleados? (v2)
Aplica la propiedad con respecto a los gerentes.
Respuesta: A) $(g+e)/g = (1+15)/1 \implies 64/g = 16/1$
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En una empresa la razón entre gerentes y empleados es $1:15$. Si sabemos que en total hay $64$ trabajadores, ¿qué ecuación de composición permite hallar a los gerentes ($g$) sabiendo que $e$ son empleados? (v3)
Aplica la propiedad con respecto a los gerentes.
Respuesta: A) $(g+e)/g = (1+15)/1 \implies 64/g = 16/1$