Identificación de términos medios
Resumen inicial
En una proporción $a : b = c : d$ o $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, los términos medios son el segundo y el tercer término: $b$ y $c$, ubicados en la posición central alrededor del signo de igualdad.
Explicación en palabras simples
En una proporción $a : b = c : d$:
- Los medios son los dos números del centro: $b$ y $c$.
- En la forma de fracciones $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, forman la diagonal secundaria ascendente (el denominador izquierdo $b$ y el numerador derecho $c$).
- Ejemplo: En $2 : 7 = 6 : 21$, los medios son $7$ y $6$.
- Su producto ($7 \cdot 6 = 42$) es igual al producto de los extremos ($2 \cdot 21 = 42$).
- En una proporción continua $\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$, ambos medios son iguales ($x$).
Explicación formal
Dada la proporción geométrica $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ con $b, d \neq 0$, se definen formalmente los términos medios como el par:
$$\operatorname{Med}(\mathcal{P}) = (b, c)$$
donde $b$ es el segundo término (consecuente de la 1ª razón) y $c$ es el tercer término (antecedente de la 2ª razón).
Producto de Medios:
El escalar $P_{\text{med}} = b \cdot c$ debe coincidir idénticamente con el producto de extremos:
$$b \cdot c = a \cdot d$$
La alternativa correcta es '$9$ y $10$'. Denominador izquierdo y numerador derecho.
Definiciones clave
- Términos medios: $b$ (2° término) y $c$ (3° término).
- Posición diagonal secundaria: Denominador del 1° miembro y numerador del 2° miembro.
- Proporción continua: Proporción donde $b = c = x$.
Propiedades y relaciones importantes
- Transposición de medios: Los medios pueden permutarse sin alterar la proporción: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
- Media geométrica: Si $b = c = x$, entonces $x^2 = a \cdot d$.
Ejemplo guiado
Identifique los términos medios en $2 : 7 = 6 : 21$ y en la proporción continua $\frac{4}{x} = \frac{x}{9}$, y determine su producto.
- Paso 1: En $2 : 7 = 6 : 21$: Los números interiores en el centro son $7$ y $6$ $\implies$ Medios = $7$ y $6$.
- Paso 2: Calcular producto de medios: $7 \cdot 6 = 42$.
- Paso 3: En $\frac{4}{x} = \frac{x}{9}$: Ambos términos medios son la incógnita $x$.
- Paso 4: Producto de medios: $x \cdot x = x^2$.
La alternativa correcta es 'Ambos términos medios son exactamente iguales entre sí (x = x)'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la proporción en formato estándar $a : b = c : d$ o $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
- Paso 2: Identificar los dos términos centrales: el consecuente de la primera razón ($b$) y el antecedente de la segunda ($c$).
- Paso 3: Calcular el producto de medios $b \cdot c$ para verificar o despejar ecuaciones.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Tomar los dos denominadores como medios ($b$ y $d$). Cómo corregirlo: Los medios son $b$ y $c$ (denominador de la 1ª y numerador de la 2ª).
- Error 2: Confundir medios con extremos. Cómo corregirlo: Los extremos están en las orillas ($a, d$); los medios están en el centro ($b, c$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Los términos centrales son $6$ y $10$.
- $8 \cdot 3 = 24$.
- Sí, son los términos interiores que rodean al signo igual.
- Sí, si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar y operar con los términos medios de una proporción matemática.
Localizando el segundo ($b$) y tercer ($c$) término en $a : b = c : d$, o la diagonal ascendente en $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, y calculando su producto $b \cdot c$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuáles son los medios en $a:b = c:d$? (v1)
Son los centrales.
Respuesta: A) b y c
-
¿Cuáles son los medios en $a:b = c:d$? (v2)
Son los centrales.
Respuesta: A) b y c
-
¿Cuáles son los medios en $a:b = c:d$? (v3)
Son los centrales.
Respuesta: A) b y c
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En $8:16 = 2:4$, los medios son:
16 y 2 están junto al signo igual.
Respuesta: A) 16 y 2
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿En $x/y = z/w$, los medios son $y$ y $z$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$, medios son y, z.
Respuesta: Verdadero
-
¿En $x/y = z/w$, los medios son $y$ y $z$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$, medios son y, z.
Respuesta: Verdadero
-
¿En $x/y = z/w$, los medios son $y$ y $z$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$, medios son y, z.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si en una maqueta se plantea que $Real : Maqueta = Largo : Corto$, ¿cuáles son los términos medios? (v1)
Ocupan las posiciones centrales.
Respuesta: A) Maqueta y Largo
-
Si en una maqueta se plantea que $Real : Maqueta = Largo : Corto$, ¿cuáles son los términos medios? (v2)
Ocupan las posiciones centrales.
Respuesta: A) Maqueta y Largo
-
Si en una maqueta se plantea que $Real : Maqueta = Largo : Corto$, ¿cuáles son los términos medios? (v3)
Ocupan las posiciones centrales.
Respuesta: A) Maqueta y Largo