Identificación de términos extremos
Resumen inicial
En una proporción $a : b = c : d$ o $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, los términos extremos son el primero y el cuarto término: $a$ y $d$, situados en las posiciones exteriores de la igualdad.
Explicación en palabras simples
En una proporción $a : b = c : d$:
- Los extremos son los números que quedan en las orillas o puntas externas: $a$ y $d$.
- En la forma de fracciones $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, forman la diagonal principal descendente (el de arriba a la izquierda $a$ y el de abajo a la derecha $d$).
- Ejemplo: En $3 : 5 = 12 : 20$, los extremos son $3$ y $20$.
- Su producto ($3 \cdot 20 = 60$) es la mitad fundamental del producto cruzado.
Explicación formal
Dada la proporción geométrica ordenada $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$ con $b, d \neq 0$ tal que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, se definen los términos extremos como el par ordenado:
$$\operatorname{Ext}(\mathcal{P}) = (a, d)$$
donde $a$ es el primer término (antecedente de la 1ª razón) y $d$ es el cuarto término (consecuente de la 2ª razón).
Producto de Extremos:
El escalar $P_{\text{ext}} = a \cdot d$ interviene directamente en la condición de proporcionalidad $P_{\text{ext}} = P_{\text{med}}$.
La alternativa correcta es '$7$ y $6$'. Numerador izquierdo y denominador derecho.
Definiciones clave
- Términos extremos: $a$ (1° término) y $d$ (4° término).
- Posición en la diagonal: Numerador del 1° miembro y denominador del 2° miembro.
- Producto de extremos: Resultado de multiplicar $a \cdot d$.
Propiedades y relaciones importantes
- Intercambiabilidad: Los extremos pueden permutarse entre sí sin alterar la validez de la proporción: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.
- Igualdad al producto de medios: $a \cdot d = b \cdot c$.
Ejemplo guiado
Identifique los términos extremos en la proporción $3 : 5 = 12 : 20$ y en la ecuación fraccionaria $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$, y calcule su producto.
- Paso 1: En $3 : 5 = 12 : 20$: Los términos en los bordes exteriores son $3$ (primero) y $20$ (último) $\implies$ Extremos = $3$ y $20$.
- Paso 2: Calcular el producto de extremos: $3 \cdot 20 = 60$.
- Paso 3: En $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$: El numerador izquierdo es $x$ y el denominador derecho es $12$ $\implies$ Extremos = $x$ y $12$.
- Paso 4: Producto de extremos: $x \cdot 12 = 12x$.
La alternativa correcta es 'Porque son el primer y el último término en el orden de escritura'.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la proporción en formato estándar $a : b = c : d$ o $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
- Paso 2: Localizar el primer término ($a$) y el cuarto término ($d$).
- Paso 3: Multiplicar ambos términos para obtener el producto de extremos $a \cdot d$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir extremos con la primera fracción ($a$ y $b$). Cómo corregirlo: Los extremos son las puntas opuestas de la proporción: $a$ y $d$.
- Error 2: Tomar los dos numeradores como extremos. Cómo corregirlo: Los extremos ocupan posiciones diagonales: numerador izquierdo y denominador derecho.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Primer término = $5$, cuarto término = $24$ $\implies$ Extremos = $5$ y $24$.
- $4 \cdot 9 = 36$.
- Sí, $1$ es el numerador de la primera razón y $12$ es el denominador de la segunda.
- No, por la propiedad conmutativa de la multiplicación de números reales $a \cdot d = d \cdot a$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Identificar y operar con los términos extremos de una proporción matemática.
Localizando el primer ($a$) y cuarto ($d$) término en $a : b = c : d$, o la diagonal descendente en $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, y calculando su producto $a \cdot d$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuáles son los extremos en $a:b = c:d$? (v1)
Son el primero y el último.
Respuesta: A) a y d
-
¿Cuáles son los extremos en $a:b = c:d$? (v2)
Son el primero y el último.
Respuesta: A) a y d
-
¿Cuáles son los extremos en $a:b = c:d$? (v3)
Son el primero y el último.
Respuesta: A) a y d
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En $7:14 = 1:2$, los extremos son:
7 es el primero y 2 el último.
Respuesta: A) 7 y 2
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿En $x/y = z/w$, los extremos son $x$ y $w$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$.
Respuesta: Verdadero
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¿En $x/y = z/w$, los extremos son $x$ y $w$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$.
Respuesta: Verdadero
-
¿En $x/y = z/w$, los extremos son $x$ y $w$?
Escrito en línea es $x:y = z:w$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si en el diseño de un plano la razón $Escale:Real = 1:100$ equivale a $Plano:Medida$, ¿cuáles son los extremos de esta proporción? (v1)
Son el primero y el último de la igualdad lineal.
Respuesta: A) Escale y Medida
-
Si en el diseño de un plano la razón $Escale:Real = 1:100$ equivale a $Plano:Medida$, ¿cuáles son los extremos de esta proporción? (v2)
Son el primero y el último de la igualdad lineal.
Respuesta: A) Escale y Medida
-
Si en el diseño de un plano la razón $Escale:Real = 1:100$ equivale a $Plano:Medida$, ¿cuáles son los extremos de esta proporción? (v3)
Son el primero y el último de la igualdad lineal.
Respuesta: A) Escale y Medida