Definición de proporción como igualdad de razones

Resumen inicial

Una proporción es la igualdad entre dos razones que poseen el mismo valor numérico $k$: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (con $b, d \neq 0$), denotada también como $a : b = c : d$ («a es a b como c es a d»).

Explicación en palabras simples

Definición de proporción

Una proporción es simplemente una igualdad entre dos razones que valen lo mismo:
- Se escribe $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ o bien $a : b = c : d$.
- Se lee: «$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$».
- Por ejemplo, las razones $\frac{6}{8}$ y $\frac{15}{20}$ forman una proporción porque ambas equivalen a $0,75$ (o $\frac{3}{4}$).
- Para que exista una proporción, los dos cocientes deben dar exactamente el mismo valor $k$.

Explicación formal

Sean $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $b \neq 0$ y $d \neq 0$. Se define una proporción geométrica como la igualdad entre dos razones:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \iff a : b = c : d$$

donde:
- $a, d$: son los términos extremos (primero y cuarto término).
- $b, c$: son los términos medios (segundo y tercer término).
- $k$: es la constante de proporcionalidad común ($k \in \mathbb{R}$).

Tipos de Proporciones:
1. Proporción discreta: Los cuatro términos son distintos entre sí ($a \neq b \neq c \neq d$).
2. Proporción continua: Los términos medios son iguales entre sí ($?rac{a}{b} = ?rac{b}{c}$).

Definiciones clave

Proporción ($?rac{a}{b} = ?rac{c}{d}$): Igualdad de dos razones equivalentes.
Términos de la proporción: $a$ (1°), $b$ (2°), $c$ (3°), $d$ (4°).
Proporción discreta: Proporción con 4 términos diferentes.
Proporción continua: Proporción con términos medios iguales ($?rac{a}{b} = ?rac{b}{c}$).

Propiedades y relaciones importantes

Existencia de constante: $\frac{a}{b} = k$ y $\frac{c}{d} = k$.
Inversión: Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ ($a, c \neq 0$).

Ejemplo guiado

Ejemplos de definición de proporción

Compruebe si las razones $\frac{6}{8}$ y $\frac{15}{20}$ forman una proporción, y determine si $\frac{4}{6}$ y $\frac{5}{7}$ constituyen una proporción válida.

Paso 1: Para el primer par: Calcular $k_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Paso 2: Calcular $k_2 = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0,75$. Como $k_1 = k_2 = 0,75$, sí forman una proporción.
Paso 3: Para el segundo par: $k_1 = \frac{4}{6} = 0,\overline{6}$ y $k_2 = \frac{5}{7} \approx 0,714$.
Paso 4: Como $k_1 \neq k_2$, no forman una proporción.

Procedimiento

Paso 1: Calcular el valor numérico $k_1 = a \div b$ de la primera razón.
Paso 2: Calcular el valor numérico $k_2 = c \div d$ de la segunda razón.
Paso 3: Comparar ambos resultados: si $k_1 = k_2$, la igualdad $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción legítima.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Afirmar que es proporción solo porque los números se ven parecidos. Cómo corregirlo: Se DEBEN simplificar ambas fracciones o verificar la igualdad de sus cocientes decimales.
Error 2: Cambiar el orden de los términos. Cómo corregirlo: La igualdad exige respetar la correspondencia entre antecedentes y consecuentes.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una proporción es la igualdad entre dos razones que poseen el mismo valor $k$."

"Permitir denominadores iguales a cero en la proporción."

"La proporción se lee formalmente «$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$»."

"Asumir que una igualdad de razones es cierta sin calcular su constante $k$."

"Confundir una proporción con una simple fracción."

"En la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, los términos $b$ y $d$ deben ser no nulos."

"Invertir una sola razón manteniendo la otra sin invertir."

Al terminar debes poder

Síntesis de proporción

Comprender y formular proporciones matemáticas como igualdad de dos razones equivalentes.

Verificando la igualdad de los cocientes $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ o expresándola en notación verbal $a : b = c : d$ con denominadores no nulos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Qué es una proporción matemática? (v1)
Por definición es igualdad de razones.

Respuesta: A) La igualdad de dos razones.
¿Qué es una proporción matemática? (v2)
Por definición es igualdad de razones.

Respuesta: A) La igualdad de dos razones.
¿Qué es una proporción matemática? (v3)
Por definición es igualdad de razones.

Respuesta: A) La igualdad de dos razones.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Indica cuál es una proporción:
Solo $1/2 = 2/4$ es cierto.

Respuesta: A) $1:2 = 2:4$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Es $\frac{4}{8} = \frac{5}{10}$ una proporción?
¿Es $\frac{4}{8} = \frac{5}{10}$ una proporción?
¿Es $\frac{4}{8} = \frac{5}{10}$ una proporción?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Para que la mezcla de pintura A ($2L$ rojo por $3L$ blanco) sea igual a la mezcla B ($4L$ rojo por $xL$ blanco), ¿qué debe cumplirse? (v2)
Deben mantener la misma razón.

Respuesta: A) Que $2/3 = 4/x$.
Para que la mezcla de pintura A ($2L$ rojo por $3L$ blanco) sea igual a la mezcla B ($4L$ rojo por $xL$ blanco), ¿qué debe cumplirse? (v3)
Deben mantener la misma razón.

Respuesta: A) Que $2/3 = 4/x$.
Para que la mezcla de pintura A ($2L$ rojo por $3L$ blanco) sea igual a la mezcla B ($4L$ rojo por $xL$ blanco), ¿qué debe cumplirse? (v1)
Deben mantener la misma razón.

Respuesta: A) Que $2/3 = 4/x$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación