Cálculo de la tercera proporcional
Resumen inicial
La tercera proporcional es el extremo desconocido $x$ en una proporción continua entre dos términos dados $a$ y $b$: $\frac{a}{b} = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b^2}{a}$ ($a \neq 0$).
Explicación en palabras simples
La tercera proporcional se calcula cuando nos dan solo dos números ($a$ y $b$) y el segundo término se repite en el medio:
- Se plantea la proporción continua: $\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$.
- Para despejar $x$, elevamos el segundo término al cuadrado y dividimos por el primero:
$$x = \frac{b^2}{a}$$
- Ejemplo: Tercera proporcional entre $4$ y $6$:
- Planteamos $\frac{4}{6} = \frac{6}{x}$.
- $x = \frac{6^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$.
- Comprobación: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ y $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (¡iguales!).
Explicación formal
Dados dos elementos $a, b \in \mathbb{R}$ con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, se define formalmente como tercera proporcional de $a$ y $b$ al valor $x \in \mathbb{R}$ que completa la proporción continua:
$$\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$$
Deducción y Fórmula:
Aplicando el producto cruzado $a \cdot x = b \cdot b = b^2$:
$$x = \frac{b^2}{a}$$
Diferencia Conceptual:
- Cuarta proporcional: Requiere 3 datos distintos $\implies \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \implies x = \frac{bc}{a}$.
- Tercera proporcional: Requiere 2 datos (el 2° se repite) $\implies \frac{a}{b} = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b^2}{a}$.
La alternativa correcta es '$x = \frac{b^2}{a}$'.
Definiciones clave
- Tercera proporcional ($x$): Cuarto término en una proporción continua donde el 2° término se repite como medio.
- Término repetido ($b$): Actúa como consecuente de la primera razón y antecedente de la segunda.
- Fórmula directa: $x = \frac{b^2}{a}$.
Propiedades y relaciones importantes
- No conmutatividad: La tercera proporcional de $(a, b)$ es $\frac{b^2}{a}$, mientras que la de $(b, a)$ es $\frac{a^2}{b}$.
- Progresión geométrica: Los términos $a, b, x$ forman los tres primeros términos de una progresión geométrica de razón $r = \frac{b}{a}$.
Ejemplo guiado
Calcule la tercera proporcional entre $4$ y $6$, y luego entre $8$ y $12$.
- Paso 1: Para $4$ y $6$: Plantear en orden $\frac{4}{6} = \frac{6}{x}$.
- Paso 2: Elevar al cuadrado el segundo término: $6^2 = 36$.
- Paso 3: Dividir por el primer término: $x = \frac{36}{4} = 9$.
- Paso 4: Para $8$ y $12$: Plantear $\frac{8}{12} = \frac{12}{x}$.
- Paso 5: Calcular $x = \frac{12^2}{8} = \frac{144}{8} = 18$.
La alternativa correcta es 'Porque al plantear $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$, ambas razones equivalen a $\frac{2}{3}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término ($a$) y el segundo término ($b$).
- Paso 2: Plantear la proporción continua $\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$.
- Paso 3: Calcular el cuadrado del segundo término $b^2$ y dividirlo por el primero: $x = \frac{b^2}{a}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Invertir la fórmula ($?rac{a}{b^2}$ en vez de $?rac{b^2}{a}$). Cómo corregirlo: La incógnita $x$ está en el denominador final, por lo que $x = \frac{b^2}{a}$.
- Error 2: Confundir con la cuarta proporcional. Cómo corregirlo: La tercera proporcional solo tiene 2 datos de entrada; el 2° se repite en el medio.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $x = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32$.
- $x = \frac{6^2}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
- Sí, $x = \frac{10^2}{4} = \frac{100}{4} = 25$.
- Sí, $\frac{b^2}{a} \neq \frac{a^2}{b}$ a menos que $a = b$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular la tercera proporcional entre dos cantidades dadas en una proporción continua.
Planteando $\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$ y despejando el extremo desconocido mediante la fórmula $x = \frac{b^2}{a}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué es la tercera proporcional? (v3)
Aparece cuando los medios son idénticos.
Respuesta: A) El cuarto término en una proporción continua donde los medios son iguales.
-
¿Qué es la tercera proporcional? (v1)
Aparece cuando los medios son idénticos.
Respuesta: A) El cuarto término en una proporción continua donde los medios son iguales.
-
¿Qué es la tercera proporcional? (v2)
Aparece cuando los medios son idénticos.
Respuesta: A) El cuarto término en una proporción continua donde los medios son iguales.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La fórmula para hallar $x$ en $a/b = b/x$ es:
Despejando por producto cruzado.
Respuesta: A) $x = b^2 / a$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La tercera proporcional entre 3 y 6 es 12?
$3/6 = 6/12$ es correcto, $12 = 36/3$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La tercera proporcional entre 3 y 6 es 12?
$3/6 = 6/12$ es correcto, $12 = 36/3$.
Respuesta: Verdadero
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¿La tercera proporcional entre 3 y 6 es 12?
$3/6 = 6/12$ es correcto, $12 = 36/3$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un mecanismo de engranajes tiene 3 ruedas acopladas. Si las vueltas de la primera a la segunda están en razón $5:10$, y la segunda con la tercera mantienen la misma razón continua ($10:x$), ¿cuántas vueltas dará la tercera si se mantiene la proporción? (v2)
$5/10 = 10/x \implies x = 100/5 = 20$.
Respuesta: A) 20
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Un mecanismo de engranajes tiene 3 ruedas acopladas. Si las vueltas de la primera a la segunda están en razón $5:10$, y la segunda con la tercera mantienen la misma razón continua ($10:x$), ¿cuántas vueltas dará la tercera si se mantiene la proporción? (v3)
$5/10 = 10/x \implies x = 100/5 = 20$.
Respuesta: A) 20
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Un mecanismo de engranajes tiene 3 ruedas acopladas. Si las vueltas de la primera a la segunda están en razón $5:10$, y la segunda con la tercera mantienen la misma razón continua ($10:x$), ¿cuántas vueltas dará la tercera si se mantiene la proporción? (v1)
$5/10 = 10/x \implies x = 100/5 = 20$.
Respuesta: A) 20