Cálculo de la media proporcional
Calcular la media proporcional en una proporción continua.
Introducción
Imagina que tienes una secuencia geométrica donde el número del medio es la clave para pasar del primero al último. En proporciones, cuando los dos números del centro son idénticos, a ese número lo llamamos media proporcional.
Explicación
Una proporción es continua si sus términos medios son iguales. En la proporción $a:x = x:b$, al término $x$ se le llama media proporcional entre $a$ y $b$.
Aplicando el producto cruzado obtenemos $x \cdot x = a \cdot b$, es decir, $x^2 = ab$. Por lo tanto, la media proporcional se calcula extrayendo la raíz cuadrada del producto de los extremos: $x = \sqrt{ab}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los dos extremos conocidos $a$ y $b$.
- Paso 2: Multiplica esos dos valores ($a \cdot b$).
- Paso 3: Extrae la raíz cuadrada del producto obtenido para hallar $x$.
Ejemplos
1 Calcula la media proporcional entre 4 y 9.
- Multiplicamos los extremos: $4 \cdot 9 = 36$.
- Extraemos la raíz cuadrada: $\sqrt{36} = 6$.
- La media proporcional es 6, ya que $4/6 = 6/9$.
2 ¿Puede ser negativa?
- Algebraicamente $x^2 = 36$ tiene como soluciones $6$ y $-6$. Generalmente en geometría se toma la positiva, pero matemáticamente ambas satisfacen la proporción.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundirla con la media aritmética (sumar y dividir por dos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sacar la raíz cuadrada después de multiplicar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Colocar la $x$ en un extremo en lugar de en los dos medios."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Extraer la raíz de un solo término antes de multiplicar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que siempre dará un número entero (muchas veces es irracional)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La media proporcional (o geométrica) es el término repetido en los medios de una proporción continua: $a/x = x/b$. Su valor es $x = \sqrt{a \cdot b}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v1)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
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¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v3)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
-
¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v2)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para calcular la media proporcional $x$ entre $m$ y $n$, se utiliza la fórmula:
De $x^2 = mn$ se llega a la raíz.
Respuesta: A) $x = \sqrt{m \cdot n}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v3)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v1)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v2)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm