Cálculo de la media proporcional
Resumen inicial
La media proporcional (o media geométrica) entre dos cantidades positivas $a$ y $c$ es el término medio repetido $x$ en una proporción continua: $\frac{a}{x} = \frac{x}{c} \implies x = \sqrt{a \cdot c}$.
Explicación en palabras simples
La media proporcional (también llamada media geométrica) se aplica cuando los dos términos del centro son iguales:
- Se plantea la proporción continua: $\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$.
- Multiplicando en cruz tenemos: $x \cdot x = a \cdot c \implies x^2 = a \cdot c$.
- Para hallar $x$, extraemos la raíz cuadrada:
$$x = \sqrt{a \cdot c}$$
- Ejemplo: La media proporcional entre $4$ y $9$:
- $x^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
- $x = \sqrt{36} = 6$.
- Comprobación: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (¡ambas valen lo mismo!).
Explicación formal
Sean $a, c \in \mathbb{R}^+$ dos reales positivos. Se define formalmente como media proporcional (o media geométrica) entre $a$ y $c$ al valor $x \in \mathbb{R}^+$ que satisface la proporción continua:
$$\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$$
Deducción y Fórmula:
Aplicando el Teorema Fundamental:
$$x^2 = a \cdot c$$
Tomando la raíz cuadrada aritmética principal (positiva):
$$x = \sqrt{a \cdot c}$$
Interpretación Geométrica:
En geometría euclidiana, la media proporcional $x = \sqrt{a \cdot c}$ representa el lado de un cuadrado cuya área es idéntica a la de un rectángulo de lados $a$ y $c$ ($x^2 = a \cdot c$). También corresponde a la altura sobre la hipotenusa en el Teorema de Euclides.
La alternativa correcta es '$x = \sqrt{a \cdot c}$'.
Definiciones clave
- Media proporcional ($x$): Término medio repetido en la proporción continua $\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$.
- Media geométrica: Valor $x = \sqrt{a \cdot c}$ entre dos números reales positivos.
- Proporción continua: Proporción donde los términos medios son idénticos.
Propiedades y relaciones importantes
- Positividad: En magnitudes físicas y geométricas, $x > 0$.
- Desigualdad de medias: $\sqrt{a \cdot c} \le \frac{a + c}{2}$ (la media geométrica es siempre menor o igual a la media aritmética).
Ejemplo guiado
Calcule la media proporcional entre $4$ y $9$, y luego entre $2$ y $50$.
- Paso 1: Para $4$ y $9$: Plantear la proporción continua $\frac{4}{x} = \frac{x}{9}$.
- Paso 2: Producto cruzado: $x^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
- Paso 3: Extraer raíz cuadrada: $x = \sqrt{36} = 6$.
- Paso 4: Para $2$ y $50$: $x^2 = 2 \cdot 50 = 100$.
- Paso 5: Extraer raíz cuadrada: $x = \sqrt{100} = 10$.
La alternativa correcta es 'Porque se calcula con la raíz del producto $\sqrt{36} = 6$ (media geométrica), no con el promedio'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar los dos números extremos dados: $a \cdot c$.
- Paso 2: Extraer la raíz cuadrada principal del producto obtenido: $x = \sqrt{a \cdot c}$.
- Paso 3: Verificar que $\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$ dé el mismo valor de razón simplificado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Calcular la media aritmética $?rac{a+c}{2}$ en vez de la geométrica. Cómo corregirlo: La media PROPORCIONAL es multiplicativa: $x = \sqrt{a \cdot c}$.
- Error 2: Olvidar sacar la raíz cuadrada ($x = 36$). Cómo corregirlo: $36$ es $x^2$; el valor de $x$ es $\sqrt{36} = 6$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $x = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$.
- $x = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$.
- Sí, $\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10$.
- Sí, porque los dos términos medios de la proporción continua son idénticos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular e interpretar la media proporcional (o geométrica) entre dos números reales positivos.
Planteando la proporción continua $\frac{a}{x} = \frac{x}{c}$ y calculando la raíz cuadrada del producto de los extremos $x = \sqrt{a \cdot c}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v1)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
-
¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v3)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
-
¿Qué caracteriza a una proporción donde existe media proporcional? (v2)
Por definición, en $a/x = x/b$ los medios son iguales.
Respuesta: A) Sus dos términos medios son exactamente iguales.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para calcular la media proporcional $x$ entre $m$ y $n$, se utiliza la fórmula:
De $x^2 = mn$ se llega a la raíz.
Respuesta: A) $x = \sqrt{m \cdot n}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
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¿La media proporcional entre 2 y 8 es 4?
$\sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v3)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v1)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm
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En diseño gráfico, la medida central ideal $x$ entre un margen de $16$ cm y un texto de $25$ cm obedece a una proporción continua $16:x = x:25$. ¿Cuál es esa medida $x$? (v2)
$x = \sqrt{16\cdot25} = \sqrt{400} = 20$.
Respuesta: A) $20$ cm