Cálculo de la cuarta proporcional

Resumen inicial

La cuarta proporcional es el cuarto término desconocido $x$ en una proporción discreta a partir de tres términos dados $a, b, c$: $\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \implies x = \frac{b \cdot c}{a}$ ($a \neq 0$).

Explicación en palabras simples

Cálculo de cuarta proporcional

La cuarta proporcional es el valor desconocido $x$ cuando nos dan tres números distintos $a, b, c$:
- Se plantea en orden: $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$.
- Para calcular $x$, se multiplican los dos números cruzados y se divide por el número restante:
$$x = \frac{b \cdot c}{a}$$
- Ejemplo: La cuarta proporcional de $3, 5$ y $12$:
- Planteamos $\frac{3}{5} = \frac{12}{x}$.
- Multiplicamos en cruz: $x = \frac{5 \cdot 12}{3} = \frac{60}{3} = 20$.
- ¡Es exactamente el procedimiento de la Regla de Tres Simple Directa!

Explicación formal

Dados tres elementos $a, b, c \in \mathbb{R}$ con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, se define formalmente como cuarta proporcional de $a, b, c$ al único escalar $x \in \mathbb{R}$ que satisface la proporción discreta:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$$

Fórmula de Cálculo:
Aplicando el Teorema Fundamental $a \cdot x = b \cdot c$:

$$x = \frac{b \cdot c}{a}$$

Dependencia del Orden:
La cuarta proporcional depende estrictamente del orden de la terna $(a, b, c)$. Por ejemplo, la cuarta proporcional de $(a, c, b)$ es $x' = \frac{c \cdot b}{a} = x$, pero la de $(b, a, c)$ es $x'' = \frac{a \cdot c}{b} \neq x$.

Definiciones clave

Cuarta proporcional ($x$): Cuarto término que completa la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$.
Proporción discreta: Proporción donde intervienen 4 cantidades distintas.
Terna ordenada $(a, b, c)$: Conjunto de datos base en secuencia obligatoria.

Propiedades y relaciones importantes

Unicidad: Para cada terna ordenada con $a \neq 0$, existe una única cuarta proporcional.
Equivalencia a regla de tres: Modelo matemático de la proporcionalidad directa simple.

Ejemplo guiado

Ejemplos de cuarta proporcional

Calcule la cuarta proporcional de los números $3, 5$ y $12$, y halle el término desconocido en la proporción $\frac{8}{x} = \frac{6}{9}$.

Paso 1: Para $3, 5, 12$: Plantear en orden $\frac{3}{5} = \frac{12}{x}$.
Paso 2: Multiplicar los medios conocidos: $5 \cdot 12 = 60$.
Paso 3: Dividir por el extremo conocido: $x = \frac{60}{3} = 20$.
Paso 4: Para $\frac{8}{x} = \frac{6}{9}$: Multiplicar extremos conocidos: $8 \cdot 9 = 72$.
Paso 5: Dividir por el medio conocido: $x = \frac{72}{6} = 12$.

Procedimiento

Paso 1: Escribir los tres términos en la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ manteniendo el orden en que se nombran.
Paso 2: Multiplicar los dos términos que forman la pareja cruzada completa ($b \cdot c$).
Paso 3: Dividir el resultado por el término restante ($a$) para obtener el valor exacto de $x$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Cambiar el orden de los tres números dados. Cómo corregirlo: La cuarta proporcional de $(a, b, c)$ coloca estrictamente $a$ como 1°, $b$ como 2°, $c$ como 3° y $x$ como 4°.
Error 2: Dividir por el número equivocado. Cómo corregirlo: Se divide SIEMPRE por el término opuesto en diagonal a la incógnita.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La cuarta proporcional completa una proporción discreta a partir de tres términos dados."

"Es el fundamento algebraico de la regla de tres simple directa."

"Cometer errores al simplificar antes de dividir."

"Se calcula mediante la fórmula $x = \frac{b \cdot c}{a}$."

"Confundir cuarta proporcional con media o tercera proporcional."

"Desordenar la terna de números inicial."

"Multiplicar los términos incorrectos en la diagonal."

Al terminar debes poder

Síntesis de cuarta proporcional

Calcular la cuarta proporcional de tres cantidades dadas en una proporción discreta.

Planteando $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ en el orden establecido y despejando mediante la fórmula $x = \frac{b \cdot c}{a}$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿A qué se le llama cuarta proporcional? (v1)
Concepto de despeje.

Respuesta: A) Al término desconocido cuando se conocen tres en una proporción.
¿A qué se le llama cuarta proporcional? (v2)
Concepto de despeje.

Respuesta: A) Al término desconocido cuando se conocen tres en una proporción.
¿A qué se le llama cuarta proporcional? (v3)
Concepto de despeje.

Respuesta: A) Al término desconocido cuando se conocen tres en una proporción.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Para hallar $x$ en $a/b = c/x$, la operación es:
Diagonal completa dividida por el opuesto.

Respuesta: A) $x = (b \cdot c) / a$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿En la proporción $2/5 = 6/x$, el valor de $x$ es $15$?
¿En la proporción $2/5 = 6/x$, el valor de $x$ es $15$?
¿En la proporción $2/5 = 6/x$, el valor de $x$ es $15$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Para un evento escolar, la razón entre profesores y alumnos debe ser de $2$ a $45$. Si ya hay $180$ alumnos confirmados, ¿cuántos profesores se necesitan como mínimo? (v1)
$2/45 = x/180 \implies x = 2\cdot180 / 45 = 360/45 = 8$.

Respuesta: A) $8$
Para un evento escolar, la razón entre profesores y alumnos debe ser de $2$ a $45$. Si ya hay $180$ alumnos confirmados, ¿cuántos profesores se necesitan como mínimo? (v2)
$2/45 = x/180 \implies x = 2\cdot180 / 45 = 360/45 = 8$.

Respuesta: A) $8$
Para un evento escolar, la razón entre profesores y alumnos debe ser de $2$ a $45$. Si ya hay $180$ alumnos confirmados, ¿cuántos profesores se necesitan como mínimo? (v3)
$2/45 = x/180 \implies x = 2\cdot180 / 45 = 360/45 = 8$.

Respuesta: A) $8$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación