Aplicación del producto cruzado en una proporción
Resumen inicial
El Teorema Fundamental de las Proporciones establece que en toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$ ($b, d \neq 0$).
Explicación en palabras simples
El producto cruzado (o Teorema Fundamental de las Proporciones) es la regla más importante de este tema:
- «El producto de los extremos es igual al producto de los medios»:
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$
- ¿Cómo se aplica? Se multiplica cruzado: el de arriba a la izquierda por el de abajo a la derecha, y se iguala al de abajo a la izquierda por el de arriba a la derecha.
- ¿Para qué sirve?
1. Para saber si dos razones forman una proporción ($8 \cdot 15 = 120$ y $12 \cdot 10 = 120 \implies$ ¡Sí es proporción!).
2. Para despejar cualquier incógnita en una ecuación proporcional.
Explicación formal
Teorema Fundamental de las Proporciones:
Sean $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $b, d \neq 0$. La igualdad $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es válida si y solo si:
$$a \cdot d = b \cdot c$$
Demostración:
Partiendo de $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, multiplicamos ambos miembros por el producto de los denominadores $b \cdot d$ ($b \cdot d \neq 0$):
$$\left(\frac{a}{b}\right) \cdot (b \cdot d) = \left(\frac{c}{d}\right) \cdot (b \cdot d)$$
Simplificando los factores correspondientes:
$$a \cdot d = c \cdot b = b \cdot c \quad \blacksquare$$
Despeje Universal de Incógnitas:
- $a = \frac{b \cdot c}{d}$
- $b = \frac{a \cdot d}{c}$
- $c = \frac{a \cdot d}{b}$
- $d = \frac{b \cdot c}{a}$
La alternativa correcta es '$a \cdot d = b \cdot c$ (producto de extremos igual a producto de medios)'.
Definiciones clave
- Teorema Fundamental: Identidad $a \cdot d = b \cdot c$.
- Multiplicación en cruz: Operación cruzada entre numeradores y denominadores opuestos.
- Ecuación proporcional: Ecuación racional resoluble linealmente mediante producto cruzado.
Propiedades y relaciones importantes
- Linealización: Convierte una ecuación racional con fracciones en una ecuación lineal entera sin denominadores.
- Criterio de no proporcionalidad: Si $a \cdot d \neq b \cdot c$, entonces $\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}$.
Ejemplo guiado
Verifique mediante producto cruzado si $\frac{8}{12} = \frac{10}{15}$ es una proporción válida, y resuelva la ecuación proporcional $\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$.
- Paso 1: Para la verificación: Multiplicar extremos: $8 \cdot 15 = 120$.
- Paso 2: Multiplicar medios: $12 \cdot 10 = 120$.
- Paso 3: Comparar: Como $120 = 120$, el teorema confirma que sí es una proporción legítima.
- Paso 4: Para la ecuación: Aplicar producto cruzado: $15 \cdot x = 5 \cdot 12 \implies 15x = 60$.
- Paso 5: Despejar $x$: $x = \frac{60}{15} = 4$.
La alternativa correcta es 'Multiplicando en cruz $15 \cdot x = 5 \cdot 12$ y dividiendo por 15'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los extremos ($a, d$) y los medios ($b, c$) en la proporción $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
- Paso 2: Plantear la ecuación lineal multiplicando en cruz: $a \cdot d = b \cdot c$.
- Paso 3: Despejar la incógnita dividiendo por el coeficiente correspondiente y simplificar el resultado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar horizontalmente ($a \cdot c = b \cdot d$). Cómo corregirlo: La multiplicación DEBE ser en cruz: numerador de un lado con denominador del otro ($a \cdot d = b \cdot c$).
- Error 2: Sumar en lugar de multiplicar. Cómo corregirlo: El teorema fundamental es ESTRICTAMENTE multiplicativo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $7 \cdot x = 3 \cdot 28 = 84 \implies x = \frac{84}{7} = 12$.
- Extremos $4$ y $15$, medios $6$ y $10$ $\implies \frac{4}{6} = \frac{10}{15}$.
- Sí, es la técnica algebraica universal para eliminar denominadores en proporciones.
- No, $3 \cdot 11 = 33 \neq 5 \cdot 6 = 30$, por lo que no es una proporción.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Aplicar el Teorema Fundamental de las Proporciones para validar igualdades y despejar incógnitas.
Planteando la igualdad multiplicativa cruzada $a \cdot d = b \cdot c$ y despejando el término desconocido mediante división por el coeficiente opuesto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v1)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
-
¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v2)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
-
¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v3)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si $m/n = p/q$, el producto cruzado indica que:
Multiplicación cruzada de numerador y denominador opuesto.
Respuesta: A) $m \cdot q = n \cdot p$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v1)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$
-
Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v2)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$
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Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v3)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$