Aplicación del producto cruzado en una proporción
Aplicar el Teorema Fundamental de las Proporciones (producto cruzado).
Introducción
Si dos fracciones son equivalentes, sus diagonales esconden un secreto matemático: al multiplicarlas, el resultado es siempre el mismo. Esta es la llave maestra para resolver casi cualquier problema de proporciones.
Explicación
El producto cruzado es la propiedad más importante de las proporciones. Indica que si multiplicas cruzado el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y viceversa, los resultados deben ser idénticos. Esto permite comprobar si dos razones forman proporción y, más útil aún, encontrar términos desconocidos (resolución de ecuaciones).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la proporción como fracciones $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
- Paso 2: Multiplica el numerador izquierdo por el denominador derecho ($a \cdot d$).
- Paso 3: Multiplica el denominador izquierdo por el numerador derecho ($b \cdot c$) y compara o iguala.
Ejemplos
1 ¿Es $4/6 = 10/15$ una proporción válida?
- Multiplicamos extremos: $4 \cdot 15 = 60$.
- Multiplicamos medios: $6 \cdot 10 = 60$.
- Como $60 = 60$, es una proporción.
2 ¿Sirve para encontrar una incógnita?
- Si $x/3 = 8/6$, entonces $6x = 24$, por lo que $x = 4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar numeradores con numeradores en lugar de hacerlo en cruz."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar en cruz en vez de multiplicar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar igualar los dos productos (dejándolos sueltos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar producto cruzado cuando se están sumando fracciones ($a/b + c/d$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el producto de extremos con el valor de la razón."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El Teorema Fundamental establece que en toda proporción $a/b = c/d$, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: $a \cdot d = b \cdot c$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v1)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
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¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v2)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
-
¿Qué afirma el Teorema Fundamental de las Proporciones? (v3)
Propiedad básica: ad = bc.
Respuesta: A) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si $m/n = p/q$, el producto cruzado indica que:
Multiplicación cruzada de numerador y denominador opuesto.
Respuesta: A) $m \cdot q = n \cdot p$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
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¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
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¿Si $2/3 = 8/12$, entonces $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8$?
$24 = 24$, se cumple el teorema.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v1)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$
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Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v2)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$
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Un arquitecto usa la escala $1:50$. Si iguala $\frac150 = \frac{Altura}200$, ¿qué ecuación resuelve correctamente el problema usando producto cruzado? (v3)
Extremo por extremo = medio por medio.
Respuesta: A) $1 \cdot 200 = 50 \cdot Altura$