Resolución de problemas de proporción inversa

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La resolución de problemas de proporcionalidad inversa consiste en igualar los productos horizontales de las magnitudes involucradas: $A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$ y despejar la incógnita: $x = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2}$.

Explicación en palabras simples

Resolución de problemas inversos

Para resolver cualquier problema de proporcionalidad inversa, sigue este método infalible en 3 pasos:

  1. Paso 1: Validar el comportamiento inverso
  2. Pregúntate: «¿Si aumentamos los recursos (obreros, velocidad, bombas), el tiempo disminuye?»
  3. Si la respuesta es SÍ, es proporción inversa.
  4. Paso 2: Plantear la multiplicación HORIZONTAL (de lado)
  5. ¡NO multipliques en cruz! En proporción inversa se multiplica de lado:
    $$A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$$

  6. Paso 3: Despejar la incógnita
    $$x = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2}$$

  7. Ejemplo: Si $8$ obreros tardan $15$ días en terminar una obra, ¿cuánto tardarán $12$ obreros?

  8. Planteamos la igualdad horizontal: $8 \cdot 15 = 12 \cdot x$.
  9. $120 = 12x \implies x = \frac{120}{12} = 10\text{ días}$.

Explicación formal

Sea un problema en contexto con magnitudes $A$ y $B$ tales que $A \cdot B = k = \text{cte} > 0$.

Algoritmo Formal de Solución:
1. Verificación de la Hipótesis Inversa: Comprobar que $B \propto \frac{1}{A}$.
2. Igualdad de Productos Invariantes:
$$A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot B_2$$
3. Despeje de la Incógnita:
$$B_2 = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2} \quad (A_2 > 0)$$
4. Análisis Dimensional:
$$[B_2] = \frac{[A_1] \cdot [B_1]}{[A_2]} = [B_1] \quad (\text{dado que } [A_1] = [A_2])$$

Comprueba tu avance ¿Cómo se plantea la ecuación en una regla de tres inversamente proporcional?

Definiciones clave

  • Problema de proporción inversa: Situación donde el producto de magnitudes es constante.
  • Multiplicación horizontal: Técnica $A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$ (opuesta al producto cruzado).
  • Validación contextual: Comprobación lógica de que más recursos implican menor tiempo o esfuerzo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Regla de tres inversa: Formulación algorítmica donde $x = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2}$.
  • Conservación de trabajo total: $W = A_1 B_1 = A_2 B_2$ permanece constante.

Ejemplo guiado

Ejemplos de problemas inversos

Si $8$ obreros tardan $15\text{ días}$ en pavimentar una calle, ¿cuánto tardarán $12$ obreros? Además, si $4$ grifos llenan una piscina en $6\text{ horas}$, ¿cuántos grifos se necesitan para llenarla en $2\text{ horas}$?

  • Paso 1: Para los obreros: Plantear producto horizontal $8 \cdot 15 = 12 \cdot x \implies 120 = 12x$.
  • Paso 2: Despejar $x$: $x = \frac{120}{12} = 10\text{ días}$.
  • Paso 3: Para los grifos: Plantear producto constante $4 \cdot 6 = n \cdot 2 \implies 24 = 2n$.
  • Paso 4: Despejar número de grifos $n$: $n = \frac{24}{2} = 12\text{ grifos}$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué con 12 obreros se tardó menos tiempo (10 días) que con 8 obreros (15 días)?

Procedimiento

  • Paso 1: Leer el enunciado e identificar las magnitudes y sus unidades.
  • Paso 2: Confirmar que la relación es inversa (más produce menos en tiempo o consumo).
  • Paso 3: Plantear la ecuación horizontal $A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$ y despejar $x = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Aplicar producto cruzado por inercia. Cómo corregirlo: En la proporción inversa la multiplicación es HORIZONTAL ($A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$).
  • Error 2: No verificar el sentido común de la respuesta. Cómo corregirlo: Si más obreros resultan tardando más días, se cometió un error de planteamiento directo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un tren a $90\text{ km/h}$ tarda $4\text{ horas}$ en completar un trayecto. ¿Cuánto tardará a $120\text{ km/h}$?
2 Para envasar una partida de aceite se necesitan $60$ botellas de $2\text{ litros}$. ¿Cuántas botellas de $0,5\text{ litros}$ se necesitarán?
3 ¿Se multiplica horizontalmente en problemas de proporción inversa?
4 ¿Es inversamente proporcional la cantidad de comida disponible por persona según el número de comensales?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar comprobar que la respuesta sea coherente con el sentido inverso."
"Cometer errores al dividir por decimales."
"No convertir unidades heterogéneas antes de plantear los productos."
"El problema se resuelve planteando $A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$."
"Aplicar regla de tres directa multiplicando en cruz."
"Al aumentar una magnitud, la otra disminuye en el mismo factor multiplicativo."
"En la proporcionalidad inversa, el producto de las magnitudes permanece constante."

Al terminar debes poder

Síntesis de resolución de problemas inversos

🎯 QUÉ Objetivo

Resolver problemas contextuales aplicando el modelo y las propiedades de la proporcionalidad inversa.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Validando la naturaleza inversa de las variables, planteando la ecuación de producto horizontal $A_1 \cdot B_1 = A_2 \cdot x$ y despejando la incógnita $x = \frac{A_1 \cdot B_1}{A_2}$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v2)

  2. Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v3)

  3. Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v1)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si $10$ bombas llenan un depósito en $2$ horas. ¿Qué ecuación permite calcular el tiempo $t$ para $5$ bombas?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?

  2. ¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?

  3. ¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v1)

  2. Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v2)

  3. Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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