Resolución de problemas de proporción inversa
Resolver problemas cotidianos utilizando el modelo de proporcionalidad inversa.
Introducción
¿Cómo calculas a qué velocidad debes manejar para llegar a tiempo si saliste tarde? Este tipo de cálculos, donde apurar el paso reduce la demora, se resuelven utilizando proporcionalidad inversa.
Explicación
En la vida diaria, las proporciones inversas aparecen típicamente en tres contextos: tiempo y velocidad, tiempo y cantidad de trabajadores, o reparto equitativo de un recurso fijo.
Para resolverlos, el método más seguro no es la regla de tres cruzada (que se usa en directa), sino igualar los productos (regla de tres inversa). Si la situación inicial tiene valores $x_1$ e $y_1$, y la situación final tiene $x_2$ e $y_2$, se cumple que:
$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$$
De aquí simplemente despejas el valor desconocido.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Confirma que la relación es inversa (más trabajadores = menos días).
- Paso 2: Multiplica los dos datos de la situación inicial conocida para obtener $k$.
- Paso 3: Divide esa constante $k$ por el único dato conocido de la situación final para hallar la incógnita.
Ejemplos
1 Si 3 pintores pintan una casa en 12 días, ¿cuántos días demorarán 4 pintores?
- Es inversa (más pintores, menos días).
- Calculamos el trabajo total: $3 \text{ pintores} \cdot 12 \text{ días} = 36$ días-pintor ($k$).
- Dividimos por la nueva cantidad: $36 / 4 \text{ pintores} = 9$ días.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar la regla de tres simple cruzada ($x = 4\cdot12/3 = 16$), obteniendo absurdamente que más pintores demoran más."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar lógicamente el resultado (preguntarse: ¿tiene sentido que demoren más si son más?)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Los problemas de proporción inversa se resuelven igualando los productos de las variables ($x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$) o usando el modelo $y = k/x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v2)
La constante es el producto.
Respuesta: A) El producto de los estados inicial y final ($x_1 y_1 = x_2 y_2$).
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Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v3)
La constante es el producto.
Respuesta: A) El producto de los estados inicial y final ($x_1 y_1 = x_2 y_2$).
-
Para resolver un problema de proporción inversa, la estrategia algebraica principal es igualar: (v1)
La constante es el producto.
Respuesta: A) El producto de los estados inicial y final ($x_1 y_1 = x_2 y_2$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si $10$ bombas llenan un depósito en $2$ horas. ¿Qué ecuación permite calcular el tiempo $t$ para $5$ bombas?
Igualdad de productos.
Respuesta: A) $10 \cdot 2 = 5 \cdot t$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?
$4 \cdot 6 = 24$. Luego $24 / 3 = 8$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?
$4 \cdot 6 = 24$. Luego $24 / 3 = 8$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si 4 personas gastan una bolsa de arroz en 6 días, 3 personas la gastarán en 8 días?
$4 \cdot 6 = 24$. Luego $24 / 3 = 8$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v1)
$k = 6 \cdot 80 = 480$ km (distancia total). Velocidad $= 480 / 4 = 120$ km/h.
Respuesta: A) $120$ km/h
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Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v2)
$k = 6 \cdot 80 = 480$ km (distancia total). Velocidad $= 480 / 4 = 120$ km/h.
Respuesta: A) $120$ km/h
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Un viaje de ciudad A a ciudad B toma $6$ horas yendo a $80$ km/h. Si hay una emergencia y se necesita hacer el recorrido en exactamente $4$ horas, ¿a qué velocidad constante debe ir el vehículo? (v3)
$k = 6 \cdot 80 = 480$ km (distancia total). Velocidad $= 480 / 4 = 120$ km/h.
Respuesta: A) $120$ km/h