Concepto de variables inversamente proporcionales
Resumen inicial
Dos variables $x$ e $y$ son inversamente proporcionales si su producto es constante ($x \cdot y = k$ con $k > 0$), de modo que al multiplicar $x$ por un factor $n$, la variable $y$ se divide exactamente por el mismo factor $n$ ($y = \frac{k}{x}$).
Explicación en palabras simples
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando están conectadas por una multiplicación fija de sentido contrario:
- Si una cantidad se duplica ($\times 2$) o triplica ($\times 3$), la otra se reduce a la mitad ($\div 2$) o a la tercera parte ($\div 3$).
- Su producto siempre da el mismo número constante $k$:
$$x \cdot y = k \iff y = \frac{k}{x}$$
- Ejemplo clásico: Obreros y tiempo de construcción:
- $2$ obreros tardan $12$ días ($2 \cdot 12 = 24$).
- $4$ obreros (el doble) tardan $6$ días (la mitad, $4 \cdot 6 = 24$).
- $6$ obreros (el triple) tardan $4$ días ($6 \cdot 4 = 24$).
- Cuidado: No toda relación donde 'uno sube y el otro baja' es inversa (ej: si tienes $\$\$100.00$0$ y gastas $\$\$20.00$0$, te quedan $\$\$80.00$0$; es una suma fija $x + y = 100.000$, no un producto fijo).
Explicación formal
Sean $x, y$ dos variables reales positivas ($x, y \in \mathbb{R}^+$). Se define que $y$ es inversamente proporcional a $x$ si existe una constante positiva $k \in \mathbb{R}^+$ tal que:
$$x \cdot y = k \iff y = \frac{k}{x} \quad (\forall x > 0)$$
Propiedad de Escalamiento Recíproco:
Para cualquier factor escalar $n > 0$:
$$f(n \cdot x) = \frac{k}{n \cdot x} = \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{k}{x}\right) = \frac{1}{n} \cdot f(x)$$
lo que confirma que al multiplicar el argumento por $n$, la función evalúa exactamente a su valor anterior dividido por $n$.
La alternativa correcta es 'Que su producto $x \cdot y = k$ sea constante'.
Definiciones clave
- Proporcionalidad inversa: Relación funcional donde el producto $x \cdot y = k$ es constante.
- Constante de proporcionalidad inversa ($k$): Producto invariante $k = x \cdot y$.
- Escalamiento recíproco: Propiedad donde multiplicar $x$ por $n$ divide a $y$ por $n$.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría: Si $y$ es inversamente proporcional a $x$, entonces $x$ es inversamente proporcional a $y$ ($x = \frac{k}{y}$).
- Monotonía estrictamente decreciente: Para $k > 0$, a mayor $x$ corresponde siempre un menor $y$.
Ejemplo guiado
Determine si la relación entre obreros y días de trabajo ($2$ obreros = $12$ días, $4$ obreros = $6$ días, $6$ obreros = $4$ días) es inversamente proporcional, y analice si la relación entre dinero gastado y dinero sobrante de un presupuesto fijo de $\\$100.000$ lo es.
- Paso 1: Para los obreros: Calcular productos $2 \cdot 12 = 24$, $4 \cdot 6 = 24$, $6 \cdot 4 = 24$.
- Paso 2: Como el producto es constante ($k = 24$), sí es una relación inversamente proporcional.
- Paso 3: Para el presupuesto: Gastar $\\$20.000$ deja $\\$80.000$ ($20.000 \cdot 80.000 = 1.600.000.000$).
- Paso 4: Gastar $\\$40.000$ deja $\\$60.000$ ($40.000 \cdot 60.000 = 2.400.000.000$). Como los productos difieren, no es inversa.
La alternativa correcta es 'Porque al duplicar los obreros (de 2 a 4), los días se reducen exactamente a la mitad (de 12 a 6) con producto constante 24'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar las dos variables involucradas en el problema y tabular sus pares $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$.
- Paso 2: Calcular el producto $x_i \cdot y_i$ para cada par de datos.
- Paso 3: Si todos los productos dan el mismo número $k$, concluir que la relación es inversamente proporcional.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Creer que si una sube y la otra baja, automáticamente es inversa. Cómo corregirlo: Se DEBE verificar que el PRODUCTO $x \cdot y$ sea estrictamente constante.
- Error 2: Dividir las variables como si fuera directa. Cómo corregirlo: La proporcionalidad inversa se caracteriza por la MULTIPLICACIÓN constante ($x \cdot y = k$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $y = \frac{k}{x} = \frac{48}{6} = 8$.
- $v \cdot t = d$ con distancia constante $d$ es un modelo $x \cdot y = k$.
- Sí, $x \cdot y = k$ es la definición formal de la proporcionalidad inversa.
- Sí, la variación es exactamente recíproca: $\times 3 \implies \div 3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprender e identificar relaciones de proporcionalidad inversa entre dos variables.
Verificando la constancia del producto $x \cdot y = k$ y comprobando que al multiplicar una magnitud por $n$, la otra se divida exactamente por $n$ ($y = \frac{k}{x}$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué define a dos magnitudes inversamente proporcionales? (v1)
Aumento proporcional de $x$ implica reducción proporcional de $y$.
Respuesta: A) Al aumentar una en cierto factor, la otra disminuye en el mismo factor.
-
¿Qué define a dos magnitudes inversamente proporcionales? (v2)
Aumento proporcional de $x$ implica reducción proporcional de $y$.
Respuesta: A) Al aumentar una en cierto factor, la otra disminuye en el mismo factor.
-
¿Qué define a dos magnitudes inversamente proporcionales? (v3)
Aumento proporcional de $x$ implica reducción proporcional de $y$.
Respuesta: A) Al aumentar una en cierto factor, la otra disminuye en el mismo factor.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El modelo matemático de dos variables $x$ e $y$ inversamente proporcionales es:
El producto es constante.
Respuesta: A) $x \cdot y = k$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El número de obreros y los días que demoran en una obra son inversamente proporcionales?
Más obreros significa menos días. Al doble de obreros, mitad de días.
Respuesta: Verdadero
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¿El número de obreros y los días que demoran en una obra son inversamente proporcionales?
Más obreros significa menos días. Al doble de obreros, mitad de días.
Respuesta: Verdadero
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¿El número de obreros y los días que demoran en una obra son inversamente proporcionales?
Más obreros significa menos días. Al doble de obreros, mitad de días.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿En cuál de las siguientes situaciones las variables son inversamente proporcionales? (v1)
Doble de llaves = mitad de tiempo.
Respuesta: A) La cantidad de llaves iguales que llenan una piscina y el tiempo que demoran en llenarla.
-
¿En cuál de las siguientes situaciones las variables son inversamente proporcionales? (v2)
Doble de llaves = mitad de tiempo.
Respuesta: A) La cantidad de llaves iguales que llenan una piscina y el tiempo que demoran en llenarla.
-
¿En cuál de las siguientes situaciones las variables son inversamente proporcionales? (v3)
Doble de llaves = mitad de tiempo.
Respuesta: A) La cantidad de llaves iguales que llenan una piscina y el tiempo que demoran en llenarla.