Resolución de problemas de proporción directa
Resumen inicial
La resolución de problemas de proporcionalidad directa consiste en identificar magnitudes que varían en el mismo sentido multiplicativo, plantear una proporción $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{x}$ y despejar la incógnita mediante producto cruzado: $x = \frac{B_1 \cdot A_2}{A_1}$.
Explicación en palabras simples
Para resolver cualquier problema de proporcionalidad directa, sigue este método infalible en 3 pasos:
- Paso 1: Validar el comportamiento
- Pregúntate: «¿Si la primera magnitud aumenta al doble, la segunda también aumenta al doble?»
- Si la respuesta es SÍ, es proporción directa.
- Paso 2: Ordenar los datos en una tabla o proporción
$$\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{x}$$ -
Paso 3: Multiplicar cruzado y despejar
$$x = \frac{B_1 \cdot A_2}{A_1}$$ -
Ejemplo: Si $5\text{ litros}$ de pintura cubren $40\text{ m}^2$, ¿cuántos litros se necesitan para $120\text{ m}^2$?
- Planteamos: $\frac{5}{40} = \frac{x}{120}$.
- Multiplicamos en cruz: $x = \frac{5 \cdot 120}{40} = \frac{600}{40} = 15\text{ litros}$.
Explicación formal
Sea un problema en contexto con magnitudes $A$ y $B$ tales que $B = k \cdot A$.
Algoritmo Formal de Solución:
1. Verificación de la Hipótesis de Proporcionalidad: Demostrar que $\frac{dB}{dA} = k = \text{cte} > 0$.
2. Planteamiento Proporcional:
$$\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2}$$
3. Despeje por Teorema Fundamental:
$$A_1 \cdot B_2 = B_1 \cdot A_2 \implies B_2 = \frac{B_1 \cdot A_2}{A_1} \quad (A_1 \neq 0)$$
4. Análisis Dimensional: Comprobar la coherencia de las unidades de medida resultantes:
$$[B_2] = \frac{[B_1] \cdot [A_2]}{[A_1]} = [B_1] \quad (\text{dado que } [A_2] = [A_1])$$
La alternativa correcta es 'Verificar que las dos magnitudes realmente aumenten o disminuyan en el mismo factor multiplicativo'.
Definiciones clave
- Problema de proporción directa: Situación contextual modelada por $B = kA$.
- Planteamiento de regla de tres: Formato tabular $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{x}$.
- Consistencia de unidades: Homogeneidad en las dimensiones de las magnitudes comparadas.
Propiedades y relaciones importantes
- Escalabilidad: El factor de escala $n = \frac{A_2}{A_1}$ se aplica directamente a la respuesta: $B_2 = n \cdot B_1$.
- Doble enfoque: Puede resolverse por proporción cruzada o por valor unitario $k$.
Ejemplo guiado
Si $5\text{ litros}$ de pintura cubren $40\text{ m}^2$, ¿cuántos litros se necesitan para $120\text{ m}^2$? Además, si un trabajador gana $\$180.000$ en $6\text{ días}$, ¿cuánto ganará en $14\text{ días}$?
- Paso 1: Para la pintura: Plantear la proporción directa $\frac{5\text{ L}}{40\text{ m}^2} = \frac{x}{120\text{ m}^2}$.
- Paso 2: Despejar en cruz: $x = \frac{5 \cdot 120}{40} = \frac{600}{40} = 15\text{ L}$.
- Paso 3: Para el salario: Calcular el valor diario $k = \frac{180.000}{6} = $\$30.000$\text{/día}$.
- Paso 4: Multiplicar por los días trabajados: $S = 30.000 \cdot 14 = $\$420.00$0$.
La alternativa correcta es 'Porque en la proporcionalidad directa, al triplicar la entrada (superficie), la salida (litros) se triplica obligatoriamente'.
Procedimiento
- Paso 1: Leer el problema e identificar las dos magnitudes y sus respectivas unidades de medida.
- Paso 2: Verificar la hipótesis de proporcionalidad directa (más produce más multiplicativamente).
- Paso 3: Plantear la proporción $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{x}$ y resolver aplicando producto cruzado: $x = \frac{B_1 \cdot A_2}{A_1}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Aplicar regla directa a problemas de proporción inversa. Cómo corregirlo: Analizar siempre el contexto: si más obreros tardan MENOS días, la proporción es INVERSA, no directa.
- Error 2: Mezclar unidades (ej: horas con minutos). Cómo corregirlo: Convertir todas las cantidades a la misma unidad antes de operar.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $k = \frac{10.500}{3} = 3.500\text{ \$/kg} \implies 3.500 \cdot 8 = $\$28.00$0$.
- $\frac{6}{90} = \frac{x}{450} \implies x = \frac{6 \cdot 450}{90} = 6 \cdot 5 = 30\text{ litros}$.
- Sí, calcular el valor unitario $k = \frac{y}{x}$ y luego multiplicar es un método equivalente y muy intuitivo.
- Sí, a mayor número de copias, mayor es el costo total en proporción fija por hoja.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Resolver problemas contextuales aplicando el modelo y las propiedades de la proporcionalidad directa.
Validando la naturaleza directa de las variables, ordenando los datos en la proporción $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{x}$ y despejando la incógnita mediante producto cruzado $x = \frac{B_1 \cdot A_2}{A_1}$ o tasa unitaria $k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el paso fundamental antes de aplicar una regla de tres directa en un problema real? (v1)
La validación cualitativa es esencial para no confundirla con inversa o función afín.
Respuesta: A) Comprobar lógicamente que si una magnitud se duplica, la otra también debe duplicarse obligatoriamente.
-
¿Cuál es el paso fundamental antes de aplicar una regla de tres directa en un problema real? (v3)
La validación cualitativa es esencial para no confundirla con inversa o función afín.
Respuesta: A) Comprobar lógicamente que si una magnitud se duplica, la otra también debe duplicarse obligatoriamente.
-
¿Cuál es el paso fundamental antes de aplicar una regla de tres directa en un problema real? (v2)
La validación cualitativa es esencial para no confundirla con inversa o función afín.
Respuesta: A) Comprobar lógicamente que si una magnitud se duplica, la otra también debe duplicarse obligatoriamente.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Situación: 'A más albañiles trabajando, menos días demoran'. ¿Se puede resolver por proporción directa?
Si una sube y la otra baja, es inversa.
Respuesta: A) No, porque es proporción inversa.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Si 5 helados cuestan 2000, entonces 2 helados costarán 800?
$2000/5 = 400$ por helado. $2 \cdot 400 = 800$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si 5 helados cuestan 2000, entonces 2 helados costarán 800?
$2000/5 = 400$ por helado. $2 \cdot 400 = 800$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si 5 helados cuestan 2000, entonces 2 helados costarán 800?
$2000/5 = 400$ por helado. $2 \cdot 400 = 800$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una fotocopiadora industrial imprime $300$ hojas en $2$ minutos. Si la máquina no sufre alteraciones, ¿cuánto tiempo demorará exactamente en imprimir un tiraje de $1350$ hojas? (v1)
$300 \rightarrow 2 \implies 1350 \rightarrow x$. $x = 1350 \cdot 2 / 300 = 2700 / 300 = 9$.
Respuesta: A) $9$ minutos
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Una fotocopiadora industrial imprime $300$ hojas en $2$ minutos. Si la máquina no sufre alteraciones, ¿cuánto tiempo demorará exactamente en imprimir un tiraje de $1350$ hojas? (v2)
$300 \rightarrow 2 \implies 1350 \rightarrow x$. $x = 1350 \cdot 2 / 300 = 2700 / 300 = 9$.
Respuesta: A) $9$ minutos
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Una fotocopiadora industrial imprime $300$ hojas en $2$ minutos. Si la máquina no sufre alteraciones, ¿cuánto tiempo demorará exactamente en imprimir un tiraje de $1350$ hojas? (v3)
$300 \rightarrow 2 \implies 1350 \rightarrow x$. $x = 1350 \cdot 2 / 300 = 2700 / 300 = 9$.
Respuesta: A) $9$ minutos