Representación gráfica de la proporción directa
Resumen inicial
La representación gráfica de una proporcionalidad directa en el plano cartesiano es una línea recta (o semirrecta) que pasa estrictamente por el origen de coordenadas $(0, 0)$, cuya pendiente es la constante $k$.
Explicación en palabras simples
El gráfico de una proporcionalidad directa tiene dos características visuales inconfundibles:
1. Es una LÍNEA RECTA (o semirrecta que sube hacia la derecha).
2. PASA OBLIGATORIAMENTE POR EL ORIGEN $(0, 0)$ (el punto donde se cruzan los ejes $X$ e $Y$).
¿Por qué pasa por $(0,0)$? Porque si no compras ningún kilo de manzanas ($x = 0$), pagas exactamente $\$0$ ($y = 0$).
- La inclinación o pendiente de la recta es la constante $k$: mientras más grande sea $k$, más empinada y vertical será la recta.
- Si una gráfica es una curva, o si es una recta que NO pasa por $(0,0)$ (por ejemplo, pasa por $(0, 10)$), ¡NO es una proporción directa!
Explicación formal
Sea la relación funcional $y = f(x) = k \cdot x$ con $k > 0$ y $x \ge 0$.
Geometría Analítica de la Proporcionalidad Directa:
1. Lugar Geométrico: Corresponde a un rayo (o semirrecta) contenido en la recta de ecuación vectorial en $\mathbb{R}^2$:
$$\mathcal{L} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = kx\}$$
2. Punto de Intersección: Intersecta a ambos ejes únicamente en el origen: $(0, 0) = \mathcal{L} \cap \text{Eje } X = \mathcal{L} \cap \text{Eje } Y$.
3. Pendiente de la Recta:
$$m = \tan(\theta) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = k$$
donde $\theta$ es el ángulo de inclinación respecto al semieje positivo de las abscisas.
La alternativa correcta es 'Ser una línea recta y pasar obligatoriamente por el origen (0, 0)'.
Definiciones clave
- Gráfico directo: Recta radial que pasa por el origen $(0, 0)$.
- Origen $(0, 0)$: Punto donde ambas variables son simultáneamente nulas.
- Pendiente ($m = k$): Coeficiente angular que determina la inclinación de la recta.
Propiedades y relaciones importantes
- Biyección en $\mathbb{R}^+$: Cada valor de $x$ se mapea unívocamente a un punto $(x, kx)$ en la recta.
- Monotonía creciente: Como $k > 0$, a mayor $x$ corresponde siempre un mayor $y$.
Ejemplo guiado
Obtenga la constante $k$ y la ecuación de una recta proporcional que pasa por el punto $(4, 18)$, y explique por qué una recta que pasa por $(0, 10)$ y $(2, 20)$ no representa una proporción directa.
- Paso 1: Para el punto $(4, 18)$: Identificar $x = 4, y = 18 \implies k = \frac{18}{4} = 4,5$.
- Paso 2: Ecuación de la recta proporcional: $y = 4,5 \cdot x$.
- Paso 3: Para la recta por $(0, 10)$: Como corta al eje Y en $y = 10 \neq 0$, no pasa por el origen $(0,0)$.
- Paso 4: Conclusión: Es una función afín ($y = 5x + 10$), NO una proporción directa.
La alternativa correcta es 'Porque no pasa por el origen (0, 0) al tener un cargo fijo de 10'.
Procedimiento
- Paso 1: Graficar los pares ordenados $(x_i, y_i)$ en el plano cartesiano.
- Paso 2: Trazar la línea continua y verificar que pase estrictamente por el origen $(0,0)$.
- Paso 3: Calcular la pendiente de la recta dividiendo las coordenadas de cualquier punto: $k = \frac{y}{x}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Considerar proporcional directa a cualquier línea recta. Cómo corregirlo: Si la recta corta al eje Y en un punto distinto de $(0,0)$ ($y = mx + n$ con $n \neq 0$), es una función AFÍN, no proporcional directa.
- Error 2: Unir puntos con líneas curvas en relaciones proporcionales. Cómo corregirlo: La proporcionalidad directa es ESTRICTAMENTE rectilínea.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $k = \frac{35}{5} = 7$.
- Para $x = 4$, $y = 3 \cdot 4 = 12 \implies (4, 12)$.
- Sí, cuando $x = 0$, $y = k \cdot 0 = 0$ obligatoriamente.
- No, la proporcionalidad directa genera exclusivamente una línea recta.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Interpretar, graficar y analizar la representación cartesiana de una proporción directa.
Trazando la semirrecta que parte desde el origen $(0, 0)$ y verificando que la pendiente de la recta sea la constante $k = \frac{y}{x}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Visualmente, el gráfico cartesiano de una proporción directa siempre corresponde a: (v1)
Característica definitoria gráfica.
Respuesta: A) Una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$.
-
Visualmente, el gráfico cartesiano de una proporción directa siempre corresponde a: (v2)
Característica definitoria gráfica.
Respuesta: A) Una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$.
-
Visualmente, el gráfico cartesiano de una proporción directa siempre corresponde a: (v3)
Característica definitoria gráfica.
Respuesta: A) Una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si en un gráfico de proporción directa un punto es $(3, 12)$, la recta debe pasar por:
El origen y el punto de $k=4$.
Respuesta: A) $(0,0)$ y $(1,4)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Un recibo de luz que tiene un cargo fijo mensual de $1000 formará una recta que pasa por el origen?
Pasará por $(0, 1000)$, no por el origen.
Respuesta: Falso
-
¿Un recibo de luz que tiene un cargo fijo mensual de $1000 formará una recta que pasa por el origen?
Pasará por $(0, 1000)$, no por el origen.
Respuesta: Falso
-
¿Un recibo de luz que tiene un cargo fijo mensual de $1000 formará una recta que pasa por el origen?
Pasará por $(0, 1000)$, no por el origen.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Al analizar el rendimiento de un vehículo nuevo, un alumno grafica los Litros consumidos versus Kilómetros recorridos, obteniendo una recta. Si la recta NO pasara por el origen, ¿qué significado físico absurdo implicaría? (v1)
El punto $(0, y)$ con $y>0$ implicaría gasto sin movimiento.
Respuesta: A) Que el auto consumiría combustible estando estacionado con el motor apagado ($0$ km).
-
Al analizar el rendimiento de un vehículo nuevo, un alumno grafica los Litros consumidos versus Kilómetros recorridos, obteniendo una recta. Si la recta NO pasara por el origen, ¿qué significado físico absurdo implicaría? (v2)
El punto $(0, y)$ con $y>0$ implicaría gasto sin movimiento.
Respuesta: A) Que el auto consumiría combustible estando estacionado con el motor apagado ($0$ km).
-
Al analizar el rendimiento de un vehículo nuevo, un alumno grafica los Litros consumidos versus Kilómetros recorridos, obteniendo una recta. Si la recta NO pasara por el origen, ¿qué significado físico absurdo implicaría? (v3)
El punto $(0, y)$ con $y>0$ implicaría gasto sin movimiento.
Respuesta: A) Que el auto consumiría combustible estando estacionado con el motor apagado ($0$ km).