Reconocimiento tabular de proporcionalidad directa
Resumen inicial
Una tabla de valores representa una proporcionalidad directa si y solo si todos los pares de datos $(x_i, y_i)$ arrojan exactamente el mismo cociente $\frac{y_i}{x_i} = k$ constante.
Explicación en palabras simples
Para saber si una tabla de datos es de proporcionalidad directa:
1. Divide $y$ entre $x$ en cada una de las columnas: $\frac{y_1}{x_1}, \frac{y_2}{x_2}, \frac{y_3}{x_3}, \dots$
2. Compara los resultados:
- Si todos los cocientes dan exactamente el mismo número $k$, la tabla SÍ es de proporcionalidad directa.
- Si aunque sea uno solo da diferente, la tabla NO es de proporcionalidad directa.
3. Completar datos faltantes: Si la tabla es directa con constante $k$, cualquier casilla vacía se completa multiplicando: $y = k \cdot x$ o dividiendo: $x = \frac{y}{k}$.
Explicación formal
Sea una tabla de datos discretos $\mathcal{T} = \{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\} \subset \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+$.
Criterio de Proporcionalidad Tabular:
$\mathcal{T}$ representa una relación de proporcionalidad directa si y solo si:
$$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \dots = \frac{y_n}{x_n} = k \quad (k \in \mathbb{R}^+, k = \text{constante})$$
Si existe al menos un índice $j \in \{1, \dots, n\}$ tal que $\frac{y_j}{x_j} \neq k$, la relación tabular no es directamente proporcional.
La alternativa correcta es 'Dividiendo y entre x en cada columna y verificando que todos los resultados sean iguales'.
Definiciones clave
- Tabla proporcional directa: Tabla donde todas las columnas satisfacen $\frac{y}{x} = k$.
- Par ordenado $(x_i, y_i)$: Valores emparejados de entrada y salida en la tabla.
- Comprobación exhaustiva: Verificación de la constante en todas las columnas sin excepción.
Propiedades y relaciones importantes
- Extrapolación tabular: Permite predecir columnas no presentes mediante $y = kx$.
- Sensibilidad a excepciones: Un solo par discrepante invalida la proporcionalidad de toda la tabla.
Ejemplo guiado
Complete la casilla faltante en una tabla directa con $k = 4$ donde $(x=3, y=12)$ y $(x=5, y=?)$, y determine si los pares $(2, 6), (3, 9), (4, 11)$ forman una tabla directamente proporcional.
- Paso 1: Para completar la tabla: Con $k = \frac{12}{3} = 4$, calcular para $x = 5 \implies y = 4 \cdot 5 = 20$.
- Paso 2: Para la segunda tabla: Calcular cocientes $\frac{6}{2} = 3$, $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{11}{4} = 2,75$.
- Paso 3: Comparar cocientes: Como $3 = 3 \neq 2,75$, el tercer par rompe la constancia.
- Paso 4: Conclusión: La segunda tabla NO es directamente proporcional.
La alternativa correcta es 'Porque el cociente 11/4 = 2,75 es distinto de 6/2 = 3'.
Procedimiento
- Paso 1: Construir una fila o columna auxiliar calculando el cociente $\frac{y_i}{x_i}$ para cada columna de la tabla.
- Paso 2: Verificar si todos los cocientes calculados son exactamente iguales al mismo escalar $k$.
- Paso 3: Si todos coinciden, usar $y = kx$ o $x = \frac{y}{k}$ para rellenar los datos faltantes solicitados.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Verificar solo las dos primeras columnas. Cómo corregirlo: Se DEBEN verificar TODAS las columnas; una sola discrepancia final invalida la proporcionalidad directa.
- Error 2: Restar en vez de dividir filas. Cómo corregirlo: La proporcionalidad directa se comprueba con el COCIENTE $\frac{y}{x}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $k = \frac{8}{2} = 4 \implies y = 4 \cdot 7 = 28$.
- $\frac{15}{3} = 5$, $\frac{30}{6} = 5$, $\frac{50}{10} = 5$. Sí es proporcional.
- Sí, porque la constante $k = 2,5$ es uniforme en toda la tabla.
- Sí, la proporcionalidad exige que la constante se cumpla en la totalidad de los datos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Reconocer, validar y completar tablas de valores directamente proporcionales.
Calculando el cociente $\frac{y_i}{x_i}$ en cada columna, verificando la igualdad universal a la constante $k$ y completando incógnitas mediante $y = k \cdot x$ o $x = \frac{y}{k}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para afirmar que una tabla muestra proporción directa, es estrictamente necesario que: (v1)
Es la comprobación de la constante $k$.
Respuesta: A) El cociente $y/x$ sea constante en todos los pares de datos.
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Para afirmar que una tabla muestra proporción directa, es estrictamente necesario que: (v2)
Es la comprobación de la constante $k$.
Respuesta: A) El cociente $y/x$ sea constante en todos los pares de datos.
-
Para afirmar que una tabla muestra proporción directa, es estrictamente necesario que: (v3)
Es la comprobación de la constante $k$.
Respuesta: A) El cociente $y/x$ sea constante en todos los pares de datos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si una tabla tiene los pares $(1, 5)$, $(2, 10)$, $(4, z)$, y es de proporción directa, ¿cuál es el valor de $z$?
La constante es 5. Luego $z = 4 \cdot 5 = 20$.
Respuesta: A) $20$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La tabla con pares $(2, 4), (4, 8), (6, 10)$ representa proporción directa?
Tercer par da $10/6 \neq 2$.
Respuesta: Falso
-
¿La tabla con pares $(2, 4), (4, 8), (6, 10)$ representa proporción directa?
Tercer par da $10/6 \neq 2$.
Respuesta: Falso
-
¿La tabla con pares $(2, 4), (4, 8), (6, 10)$ representa proporción directa?
Tercer par da $10/6 \neq 2$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Al estudiar el cobro de un plan de celular, se obtienen los datos $(Minutos, Cobro)$: $(10, 500)$, $(20, 1000)$, $(50, 2500)$. ¿Se puede modelar esta situación con una proporción directa? (v1)
$500/10=50$, $1000/20=50$, $2500/50=50$. La constante es la misma.
Respuesta: A) Sí, porque el cociente $Cobro/Minutos$ es constante en todos los datos registrados.
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Al estudiar el cobro de un plan de celular, se obtienen los datos $(Minutos, Cobro)$: $(10, 500)$, $(20, 1000)$, $(50, 2500)$. ¿Se puede modelar esta situación con una proporción directa? (v2)
$500/10=50$, $1000/20=50$, $2500/50=50$. La constante es la misma.
Respuesta: A) Sí, porque el cociente $Cobro/Minutos$ es constante en todos los datos registrados.
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Al estudiar el cobro de un plan de celular, se obtienen los datos $(Minutos, Cobro)$: $(10, 500)$, $(20, 1000)$, $(50, 2500)$. ¿Se puede modelar esta situación con una proporción directa? (v3)
$500/10=50$, $1000/20=50$, $2500/50=50$. La constante es la misma.
Respuesta: A) Sí, porque el cociente $Cobro/Minutos$ es constante en todos los datos registrados.