Modelamiento algebraico de la proporción directa
Representar situaciones de proporción directa a través de un modelo algebraico (ecuación).
Introducción
Una vez que conoces la constante de proporcionalidad, ya no necesitas resolver regla de tres cada vez. Puedes crear una 'máquina matemática' en forma de ecuación que calcule cualquier valor de forma instantánea.
Explicación
Al saber que $y/x = k$, podemos multiplicar a ambos lados de la igualdad por $x$ para despejar $y$. Esto nos entrega el modelo algebraico de la proporción:
$$y = k \cdot x$$
Esta ecuación nos dice que para hallar cualquier valor de $y$ (magnitud dependiente), simplemente multiplicamos el valor de $x$ (magnitud independiente) por nuestra constante $k$. Es equivalente a una función lineal $f(x) = kx$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la constante $k$ dividiendo un par conocido $y/x$.
- Paso 2: Escribe la ecuación sustituyendo $k$ por el número encontrado.
- Paso 3: Utiliza $y = kx$ para encontrar valores desconocidos de forma inmediata.
Ejemplos
1 Si 2 cajas pesan 10 kilos, escribe el modelo algebraico del peso en función de las cajas.
- Calculamos $k = 10 / 2 = 5$.
- Planteamos la fórmula general $y = k \cdot x$.
- El modelo es $y = 5x$ (el peso es 5 veces el número de cajas).
2 ¿Puedo despejar x?
- Del modelo $y = kx$, se deduce que $x = y / k$ si necesitamos calcular el antecedente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Plantear el modelo como $y = k + x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intercambiar variables escribiendo $x = ky$ sin adaptar el valor de la constante."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar calcular $k$ antes de armar la ecuación final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Agregar un término libre (ej. $y = kx + n$), convirtiéndolo en función afín."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El modelo algebraico de la proporcionalidad directa es la ecuación $y = k \cdot x$, donde $k$ es la constante de proporcionalidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción directa entre $x$ e $y$? (v1)
Despejando y de $y/x = k$.
Respuesta: A) $y = k \cdot x$
-
¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción directa entre $x$ e $y$? (v2)
Despejando y de $y/x = k$.
Respuesta: A) $y = k \cdot x$
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¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción directa entre $x$ e $y$? (v3)
Despejando y de $y/x = k$.
Respuesta: A) $y = k \cdot x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si en un problema $k = 7.5$, el modelo matemático para calcular $y$ es:
Se multiplica la constante por x.
Respuesta: A) $y = 7.5x$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El modelo $y = 3x - 1$ representa una proporcionalidad directa?
Tiene un término libre (-1), por ende la recta no pasa por $(0,0)$.
Respuesta: Falso
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¿El modelo $y = 3x - 1$ representa una proporcionalidad directa?
Tiene un término libre (-1), por ende la recta no pasa por $(0,0)$.
Respuesta: Falso
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¿El modelo $y = 3x - 1$ representa una proporcionalidad directa?
Tiene un término libre (-1), por ende la recta no pasa por $(0,0)$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un grifo arroja $15$ litros de agua en $3$ minutos. Si $V$ es el volumen en litros y $t$ el tiempo en minutos, ¿qué modelo algebraico permite calcular el volumen de agua arrojado en cualquier instante $t$? (v1)
Primero hallamos $k = 15/3 = 5$. Luego planteamos $V = k \cdot t \implies V = 5t$.
Respuesta: A) $V = 5t$
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Un grifo arroja $15$ litros de agua en $3$ minutos. Si $V$ es el volumen en litros y $t$ el tiempo en minutos, ¿qué modelo algebraico permite calcular el volumen de agua arrojado en cualquier instante $t$? (v2)
Primero hallamos $k = 15/3 = 5$. Luego planteamos $V = k \cdot t \implies V = 5t$.
Respuesta: A) $V = 5t$
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Un grifo arroja $15$ litros de agua en $3$ minutos. Si $V$ es el volumen en litros y $t$ el tiempo en minutos, ¿qué modelo algebraico permite calcular el volumen de agua arrojado en cualquier instante $t$? (v3)
Primero hallamos $k = 15/3 = 5$. Luego planteamos $V = k \cdot t \implies V = 5t$.
Respuesta: A) $V = 5t$