Concepto de variables directamente proporcionales

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

Dos variables $x$ e $y$ son directamente proporcionales si su cociente es constante ($k = \frac{y}{x}$ con $x \neq 0$), de modo que al multiplicar $x$ por un factor $n$, la variable $y$ se multiplica exactamente por el mismo factor $n$.

Explicación en palabras simples

Concepto de proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando están conectadas por una multiplicación fija:
- Si una cantidad se duplica, triplica o divide por $2$, la otra hace exactamente lo mismo.
- Su división o cociente da siempre el mismo número fijo $k$: $\frac{y}{x} = k \implies y = k \cdot x$.
- Ejemplo cotidiano: El precio del pan:
- $1$ pan cuesta $\$\$25$0$.
- $2$ panes cuestan $\$\$50$0$ (el doble).
- $3$ panes cuestan $\$\$75$0$ (el triple).
- Todos los cocientes dan $\frac{250}{1} = \frac{500}{2} = \frac{750}{3} = 250$ (constante).
- Cuidado: Que dos cosas aumenten al mismo tiempo no significa que sean directamente proporcionales (ej: la edad y la estatura aumentan, pero al duplicar la edad no se duplica la estatura).

Explicación formal

Sean $x, y$ dos variables reales que toman valores en $\mathbb{R}^+$. Se dice que $y$ es directamente proporcional a $x$ (denotado $y \propto x$) si existe una constante no nula $k \in \mathbb{R}^+$ tal que:

$$\frac{y}{x} = k \iff y = k \cdot x \quad (\forall x \in \operatorname{Dom})$$

Propiedad de Homogeneidad Multiplicativa:
Para cualquier factor escalar $n > 0$:
$$f(n \cdot x) = k \cdot (n \cdot x) = n \cdot (k \cdot x) = n \cdot f(x)$$
lo que confirma que la función subyacente $f(x) = kx$ es lineal y homogénea de grado 1.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la condición matemática obligatoria para que dos variables $x$ e $y$ sean directamente proporcionales?

Definiciones clave

  • Proporcionalidad directa ($y \propto x$): Relación funcional donde $\frac{y}{x} = k$.
  • Constante de proporcionalidad directa ($k$): Cociente fijo $k = \frac{y}{x}$.
  • Homogeneidad: Propiedad donde multiplicar la entrada por $n$ multiplica la salida por $n$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Paso por el origen: Si $x = 0$, entonces $y = k \cdot 0 = 0$.
  • Monotonía: Como $k > 0$, la función $y = kx$ es estrictamente creciente.

Ejemplo guiado

Ejemplos de proporcionalidad directa

Determine si la relación entre número de panes y costo total ($1$ pan = $\\$250$, $2$ panes = $\$500$, $3$ panes = $\\$750$) es proporcional directa, y analice si la relación entre edad y estatura ($10$ años: $130\text{ cm}$; $20$ años: $175\text{ cm}$) lo es.

  • Paso 1: Para el pan: Calcular cocientes $\frac{250}{1} = 250$, $\frac{500}{2} = 250$, $\frac{750}{3} = 250$.
  • Paso 2: Como el cociente es constante ($k = 250$), sí es una relación directamente proporcional.
  • Paso 3: Para edad y estatura: $\frac{130}{10} = 13$ y $\frac{175}{20} = 8,75$.
  • Paso 4: Como $13 \neq 8,75$, el cociente no se preserva $\implies$ No es directamente proporcional.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué la relación edad-estatura no es directamente proporcional?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar las dos variables involucradas en la situación y emparejar sus valores $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$.
  • Paso 2: Calcular el cociente $\frac{y_i}{x_i}$ para cada par de datos.
  • Paso 3: Si todos los cocientes resultan iguales a una misma constante $k$, concluir que existe proporcionalidad directa.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Creer que si dos variables aumentan juntas, ya son proporcionales directas. Cómo corregirlo: Se debe comprobar que el COCIENTE $\frac{y}{x}$ sea estrictamente idéntico en todos los pares.
  • Error 2: Confundir con variación aditiva ($y = x + 5$). Cómo corregirlo: La proporcionalidad directa es puramente multiplicativa ($y = kx$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $y$ es directamente proporcional a $x$ con $k = 6$, ¿cuánto vale $y$ cuando $x = 4$?
2 ¿Cuál de las siguientes relaciones describe una proporcionalidad directa?
3 ¿Es el cociente y/x constante en una proporción directa?
4 ¿Si una variable se divide por 3, la otra también se divide por 3 en proporción directa?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar que al duplicar $x$, $y$ debe duplicarse obligatoriamente."
"La relación se modela algebraicamente como $y = k \cdot x$."
"Asumir proporcionalidad directa en relaciones afines ($y = mx + n$ con $n \neq 0$)."
"Multiplicar las variables en vez de dividirlas para hallar $k$."
"Dos variables son directamente proporcionales si su cociente $\frac{y}{x}$ es una constante $k$."
"Si una de las variables vale 0, la otra necesariamente vale 0 ($f(0) = 0$)."
"Confundir causa y efecto con proporcionalidad."

Al terminar debes poder

Síntesis de proporcionalidad directa

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender e identificar relaciones de proporcionalidad directa entre dos variables.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Verificando la constancia del cociente $\frac{y}{x} = k$ y comprobando que ambas magnitudes escalen en el mismo factor multiplicativo homogéneo.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para que dos variables sean directamente proporcionales, se debe cumplir obligatoriamente que: (v1)

  2. Para que dos variables sean directamente proporcionales, se debe cumplir obligatoriamente que: (v2)

  3. Para que dos variables sean directamente proporcionales, se debe cumplir obligatoriamente que: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El modelo matemático de dos variables $x$ e $y$ directamente proporcionales es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El lado de un cuadrado y su perímetro son directamente proporcionales?

  2. ¿El lado de un cuadrado y su perímetro son directamente proporcionales?

  3. ¿El lado de un cuadrado y su perímetro son directamente proporcionales?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son directamente proporcionales? (v1)

  2. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son directamente proporcionales? (v2)

  3. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son directamente proporcionales? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

¿Necesitas más ayuda o una clase particular?

Contáctame directamente para resolver dudas, preparar exámenes o agendar clases particulares personalizadas 1 a 1.

Escríbeme por WhatsApp Llamar directamente