Resolución manteniendo una variable constante
Resumen inicial
La resolución manteniendo una variable constante descompone un problema de proporcionalidad compuesta en dos o más reglas de tres simples sucesivas mediante el cálculo de un valor intermedio o puente.
Explicación en palabras simples
El método por etapas es una alternativa muy intuitiva a la fórmula general:
- En lugar de cambiar todo al mismo tiempo, cambiamos una sola magnitud a la vez:
1. Etapa 1: Dejamos fija la tercera magnitud y cambiamos solo la primera para calcular un resultado intermedio puente ($y'$) usando una regla de tres simple.
2. Etapa 2: Usamos ese resultado intermedio $y'$ y ahora cambiamos la otra magnitud para llegar al resultado final ($x$).
- Ejemplo: Si $3$ obreros hacen $120\text{ m}$ en $8$ días, ¿cuánto tardan $5$ obreros en hacer $200\text{ m}$?
- Etapa 1 (fijar $120\text{ m}$): $3$ obreros = $8$ días $\implies 5$ obreros = $y' = \frac{3 \cdot 8}{5} = 4,8\text{ días}$.
- Etapa 2 (fijar $5$ obreros): $120\text{ m}$ = $4,8$ días $\implies 200\text{ m}$ = $x = \frac{4,8 \cdot 200}{120} = 8\text{ días}$.
Explicación formal
Sea la transformación del estado $(A_1, B_1, C_1)$ al estado $(A_2, B_2, C_2)$ donde $A$ es la incógnita.
Descomposición en Cadena de Homomorfismos:
Se define un estado intermedio ficticio $(A', B_2, C_1)$:
-
Paso 1 (Transición $B_1 \to B_2$ con $C_1 = \text{cte}$):
$$A' = A_1 \cdot \phi_B(B_1, B_2)$$
donde $\phi_B = \frac{B_2}{B_1}$ (si es directa) o $\phi_B = \frac{B_1}{B_2}$ (si es inversa). -
Paso 2 (Transición $C_1 \to C_2$ con $B_2 = \text{cte}$):
$$A_2 = A' \cdot \phi_C(C_1, C_2) = A_1 \cdot \phi_B(B_1, B_2) \cdot \phi_C(C_1, C_2)$$
demostrando la estricta equivalencia matemática con la fórmula generalizada.
La alternativa correcta es 'Porque encadena multiplicativamente las mismas razones de escala de cada magnitud paso a paso'.
Definiciones clave
- Estado puente / intermedio ($A'$): Valor que adoptaría la incógnita si solo variase la primera magnitud.
- Reglas de tres sucesivas: Aplicación encadenada de proporciones simples.
- Invarianza de trayectoria: El resultado final $A_2$ es idéntico independientemente de qué magnitud se varíe primero.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad: Variar primero $B$ y luego $C$, o variar primero $C$ y luego $B$, arroja exactamente el mismo resultado final.
- Didáctica conceptual: Evita la abstracción de fórmulas directas al visualizar cada paso por separado.
Ejemplo guiado
Si $3$ obreros construyen $120\text{ m}$ de camino en $8\text{ días}$, resuelva paso a paso mediante variables constantes cuántos días tardarán $5$ obreros en construir $200\text{ m}$.
- Paso 1: Etapa 1: Mantener fijos los $120\text{ m}$ y variar obreros de $3$ a $5$.
- Paso 2: Como obreros y días son inversos: $y' = \frac{3 \cdot 8}{5} = 4,8\text{ días}$ (para hacer $120\text{ m}$ con $5$ obreros).
- Paso 3: Etapa 2: Mantener fijos los $5$ obreros y variar la obra de $120\text{ m}$ a $200\text{ m}$.
- Paso 4: Como obra y días son directos: $\frac{120}{4,8} = \frac{200}{x} \implies x = \frac{4,8 \cdot 200}{120} = 8\text{ días}$.
La alternativa correcta es 'Los días que tardarían los 5 obreros en hacer los 120 metros iniciales'.
Procedimiento
- Paso 1: Plantear la primera regla de tres simple variando una sola magnitud y manteniendo fijas las restantes para hallar el valor intermedio $y'$.
- Paso 2: Plantear la segunda regla de tres simple usando $y'$ como punto de partida y variando la segunda magnitud.
- Paso 3: Despejar la incógnita definitiva $x$ y verificar la coherencia del resultado.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar usar el valor intermedio $y'$ en la segunda etapa. Cómo corregirlo: La segunda etapa DEBE tomar como base el valor $y'$ recién calculado, no el dato original del inicio.
- Error 2: Redondear excesivamente $y'$. Cómo corregirlo: Mantener fracciones o decimales exactos en el cálculo intermedio.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Bombas vs Horas es inversa: $t' = \frac{2 \cdot 3}{4} = 1,5\text{ h}$.
- Volumen vs Horas es directa: $t = \frac{1,5 \cdot 1500}{500} = 1,5 \cdot 3 = 4,5\text{ h}$.
- No, por la propiedad conmutativa de la multiplicación el resultado final es siempre idéntico.
- Sí, ambas técnicas son rigurosamente equivalentes.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Resolver problemas de proporcionalidad compuesta mediante reglas de tres simples encadenadas.
Manteniendo una variable constante a la vez, calculando el valor puente intermedio $y'$ y completando la segunda transición hasta el valor final $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v1)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
-
En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v2)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
-
En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v3)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si en la ecuación $5/x = (2/3) \cdot (8/4)$, ¿qué se debe hacer para despejar $x$?
Resolución estándar de ecuaciones proporcionales.
Respuesta: A) Multiplicar $2/3$ por $8/4$, y luego producto cruzado con $5/x$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v2)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días
-
Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v3)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días
-
Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v1)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días