Resolución manteniendo una variable constante
Resolver un problema de proporcionalidad compuesta unificando las relaciones.
Introducción
Ahora que sabes desarmar un problema compuesto identificando qué es directo y qué es inverso, es hora de armar el rompecabezas. Crearemos una gran ecuación matemática donde todo encaja perfectamente.
Explicación
El método general de reducción a la unidad o de igualación de razones para resolver proporciones compuestas sigue la siguiente estructura:
$$\frac{\text{Dato incógnita}}{\text{Incógnita } x} = (\text{Fracción } A) \cdot (\text{Fracción } B) \cdot ...$$
Donde:
- Si la variable $A$ es Directa, su fracción se escribe tal cual (Arriba/Abajo).
- Si la variable $B$ es Inversa, su fracción se escribe invertida (Abajo/Arriba).
Finalmente, se multiplican las fracciones del lado derecho y se aplica la regla de la cuarta proporcional (producto cruzado) para hallar $x$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ordena en una tabla de 3 o más columnas. Pon la incógnita al final.
- Paso 2: Escribe la ecuación poniendo la fracción de la columna incógnita sola en un lado.
- Paso 3: Multiplica el resto de columnas. Si una era inversa, dales la vuelta a sus números antes de multiplicar. Despeja $x$.
Ejemplos
1 5 obreros hacen 10 metros de muro en 4 días. ¿Cuántos días ($x$) demoran 10 obreros en hacer 20 metros?
- Incógnita: Días. Días con Obreros es Inversa (invierte). Días con Metros es Directa (mantiene).
- Fracción incógnita: $4 / x$. Fracciones: Obreros $5/10$ (invierte a $10/5$), Metros $10/20$ (mantiene $10/20$).
- Ecuación: $4/x = (10/5) \cdot (10/20) = 100/100 = 1$.
- $4/x = 1 \implies x = 4$ días.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Equivocarse en la simplificación de las fracciones antes de multiplicar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la fracción de la incógnita en lugar de la variable inversa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar las fracciones en vez de multiplicarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No escribir los datos ordenados en la tabla, mezclando filas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver, se iguala la fracción de la incógnita al producto de las demás fracciones, invirtiendo aquellas que tengan relación inversa con la incógnita.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v1)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
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En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v2)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
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En el método de resolución de proporción compuesta por fracciones, las fracciones de las diferentes variables conocidas se relacionan mediante la operación de: (v3)
Las razones se multiplican para unificar el efecto proporcional.
Respuesta: A) Multiplicación.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en la ecuación $5/x = (2/3) \cdot (8/4)$, ¿qué se debe hacer para despejar $x$?
Resolución estándar de ecuaciones proporcionales.
Respuesta: A) Multiplicar $2/3$ por $8/4$, y luego producto cruzado con $5/x$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si $4/x = (1/2) \cdot (4/1)$, entonces $x = 2$?
$(1/2)\cdot 4 = 2$. Luego $4/x = 2 \implies x = 2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v2)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días
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Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v3)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días
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Si $4$ impresoras imprimen $100$ libros en $3$ días, ¿cuántos días ($x$) demorarán $2$ impresoras en imprimir $50$ libros? (v1)
Días-Impresoras es inversa (4/2 invierte a 2/4). Días-Libros es directa (100/50 mantiene). Eq: $3/x = (2/4) \cdot (100/50) = (1/2) \cdot 2 = 1$. Luego $3/x = 1 \implies x = 3$.
Respuesta: A) $3$ días