Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta
Resolver problemas cotidianos complejos que involucren proporcionalidad compuesta.
Introducción
Ya tienes todas las herramientas: sabes identificar las variables, ver si son directas o inversas, y armar la ecuación. Ahora pondremos a prueba tu destreza con problemas reales de fábricas, viajes y presupuestos.
Explicación
En los problemas de contexto extenso, el mayor desafío es la extracción de datos.
1. Haz una tabla donde las columnas sean las variables y las filas sean los 'Escenarios' (el escenario de datos conocidos y el de la incógnita).
2. Siempre deja la columna de la incógnita al final o al principio para aislarla fácilmente.
3. Revisa las unidades: si el tiempo inicial está en horas y el final en minutos, ¡debes convertirlos antes de operar!
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Extrae los datos y arma una tabla limpia.
- Paso 2: Comprueba unidades (ej: que todos los tiempos estén en la misma medida).
- Paso 3: Aplica el método de igualación de fracciones o la fórmula generalizada para obtener el resultado.
Ejemplos
1 3 camiones transportan 12 toneladas en 6 viajes. ¿Cuántos viajes harán 4 camiones para transportar 16 toneladas?
- Incógnita: Viajes ($x$). Variables: Camiones, Toneladas.
- Viajes vs Camiones: Inversa (más camiones, menos viajes). Viajes vs Toneladas: Directa (más toneladas, más viajes).
- Fracción Viajes: $6/x$. Fracción Camiones (invierte): $4/3$. Fracción Toneladas (mantiene): $12/16 = 3/4$.
- Ecuación: $6/x = (4/3) \cdot (3/4) = 1$.
- $6/x = 1 \implies x = 6$ viajes.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Operar con unidades mixtas (meses y días, kilos y toneladas) sin convertirlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundirse al momento de despejar $x$ cuando queda en el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Armar mal la tabla cruzando datos de la primera oración con la segunda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La resolución en contexto exige leer cuidadosamente, armar la tabla de datos, analizar las relaciones respecto a la incógnita, y resolver la ecuación sin mezclar los números.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v1)
La tabulación evita errores de cruce de datos.
Respuesta: A) Ordenar los datos en una tabla por magnitudes e igualar las unidades de medida.
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Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v2)
La tabulación evita errores de cruce de datos.
Respuesta: A) Ordenar los datos en una tabla por magnitudes e igualar las unidades de medida.
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Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v3)
La tabulación evita errores de cruce de datos.
Respuesta: A) Ordenar los datos en una tabla por magnitudes e igualar las unidades de medida.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en un problema se menciona '15 días' en una frase y '2 semanas' en la pregunta para la misma variable, antes de resolver debes:
Homogeneizar unidades es obligatorio.
Respuesta: A) Convertir las 2 semanas a 14 días.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?
$(3/2)\cdot(4/3) = 12/6 = 2$. Luego $2/x = 2 \implies x = 1$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?
$(3/2)\cdot(4/3) = 12/6 = 2$. Luego $2/x = 2 \implies x = 1$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?
$(3/2)\cdot(4/3) = 12/6 = 2$. Luego $2/x = 2 \implies x = 1$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v2)
Incógnita: Días ($x$). $5/x$.
D vs Obreros: Inversa (15/10).
D vs Metros: Directa (500/1000 = 1/2).
D vs Horas/d: Inversa (10/8 = 5/4).
$5/x = (15/10) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = (3/2) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = 15/16$.
No, revisemos el cálculo clásico: K = (Días * Obreros * Horas) / Metros.
$K1 = (5 * 10 * 8) / 500 = 400 / 500 = 4/5$.
$K2 = (x * 15 * 10) / 1000 = 150x / 1000 = 15x / 100$.
Igualamos: $4/5 = 15x / 100 \implies 400 = 75x \implies x = 400/75 = 16/3 = 5.33$. Veamos la respuesta esperada.
Wait, el cálculo clásico dice $K1 = 400/500 = 0.8$. $K2 = 150x/1000 = 0.15x$. $0.15x = 0.8 \implies x = 0.8 / 0.15 = 5.33$.
Corrección para que dé exacto en alternativas (ajustemos alternativas, la matemática manda). Asumiremos una alternativa $16/3$.
Pero ya la escribí. Mejor calculo exacto: $x = 16/3$ días.Respuesta: A) $16/3$ días
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Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v3)
Incógnita: Días ($x$). $5/x$.
D vs Obreros: Inversa (15/10).
D vs Metros: Directa (500/1000 = 1/2).
D vs Horas/d: Inversa (10/8 = 5/4).
$5/x = (15/10) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = (3/2) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = 15/16$.
No, revisemos el cálculo clásico: K = (Días * Obreros * Horas) / Metros.
$K1 = (5 * 10 * 8) / 500 = 400 / 500 = 4/5$.
$K2 = (x * 15 * 10) / 1000 = 150x / 1000 = 15x / 100$.
Igualamos: $4/5 = 15x / 100 \implies 400 = 75x \implies x = 400/75 = 16/3 = 5.33$. Veamos la respuesta esperada.
Wait, el cálculo clásico dice $K1 = 400/500 = 0.8$. $K2 = 150x/1000 = 0.15x$. $0.15x = 0.8 \implies x = 0.8 / 0.15 = 5.33$.
Corrección para que dé exacto en alternativas (ajustemos alternativas, la matemática manda). Asumiremos una alternativa $16/3$.
Pero ya la escribí. Mejor calculo exacto: $x = 16/3$ días.Respuesta: A) $16/3$ días
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Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v1)
Incógnita: Días ($x$). $5/x$.
D vs Obreros: Inversa (15/10).
D vs Metros: Directa (500/1000 = 1/2).
D vs Horas/d: Inversa (10/8 = 5/4).
$5/x = (15/10) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = (3/2) \cdot (1/2) \cdot (5/4) = 15/16$.
No, revisemos el cálculo clásico: K = (Días * Obreros * Horas) / Metros.
$K1 = (5 * 10 * 8) / 500 = 400 / 500 = 4/5$.
$K2 = (x * 15 * 10) / 1000 = 150x / 1000 = 15x / 100$.
Igualamos: $4/5 = 15x / 100 \implies 400 = 75x \implies x = 400/75 = 16/3 = 5.33$. Veamos la respuesta esperada.
Wait, el cálculo clásico dice $K1 = 400/500 = 0.8$. $K2 = 150x/1000 = 0.15x$. $0.15x = 0.8 \implies x = 0.8 / 0.15 = 5.33$.
Corrección para que dé exacto en alternativas (ajustemos alternativas, la matemática manda). Asumiremos una alternativa $16/3$.
Pero ya la escribí. Mejor calculo exacto: $x = 16/3$ días.Respuesta: A) $16/3$ días