Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

La resolución de problemas de proporcionalidad compuesta sigue un protocolo de cuatro pasos: organizar los datos en una tabla, determinar el tipo de relación (directa/inversa) de cada magnitud con la incógnita, formular la ecuación de razones y despejar el valor final con coherencia dimensional.

Explicación en palabras simples

Resolución de problemas compuestos

Para resolver con éxito cualquier problema de proporcionalidad compuesta, aplica siempre este protocolo en 4 pasos:

  1. Paso 1: Construir la tabla de datos
  2. Escribe en columnas cada magnitud con sus unidades (asegúrate de que las unidades estén homogeneizadas, ej: todo en horas o todo en días).
  3. Paso 2: Identificar el tipo de relación (D o I)
  4. Compara cada magnitud con la columna de la incógnita (bajo ceteris paribus).
  5. Paso 3: Armar la ecuación de proporciones
  6. $\frac{\text{Incógnita}_1}{\text{Incógnita}_2} = \prod (\text{Directas: } 1/2) \cdot \prod (\text{Inversas: } 2/1)$.
  7. Paso 4: Simplificar, despejar y validar
  8. Despeja $x$ y comprueba que la respuesta tenga sentido lógico en el contexto del problema.

Explicación formal

Sea un problema en contexto con magnitudes $\{M_0, M_1, \dots, M_n\}$ donde $M_0$ es la magnitud incógnita.

Protocolo Algorítmico Formal:
1. Homogeneización Dimensional:
$$\forall j \in \{0, \dots, n\}, \quad [M_j^{(1)}] = [M_j^{(2)}]$$
2. Clasificación Funcional por Signo del Gradiente:
$$s_j = \operatorname{sgn}\left(\frac{\partial M_0}{\partial M_j}\right) \implies s_j = +1 \text{ (Directa)}, \quad s_j = -1 \text{ (Inversa)}$$
3. Construcción del Sistema de Razones:
$$\frac{M_0^{(1)}}{M_0^{(2)}} = \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{M_j^{(1)}}{M_j^{(2)}}\right)^{s_j}$$
4. Solución Explícita y Validación:
$$x = M_0^{(2)} = M_0^{(1)} \cdot \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{M_j^{(2)}}{M_j^{(1)}}\right)^{s_j}$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es el primer paso indispensable antes de escribir la ecuación de proporcionalidad compuesta?

Definiciones clave

  • Protocolo de 4 pasos: Método estructurado para resolver problemas compuestos sin errores.
  • Homogeneización dimensional: Conversión de todas las magnitudes a unidades compatibles.
  • Validación contextual: Comprobación del sentido físico o económico del resultado numérico.

Propiedades y relaciones importantes

  • Robustez algorítmica: Evita confusiones independientemente de la complejidad del enunciado.
  • Universalidad: Aplica a problemas de construcción, transporte, rendimiento agrícola, manufactura y finanzas.

Ejemplo guiado

Ejemplos de problemas compuestos

Si $6$ obreros trabajando $8\text{ h/día}$ tardan $10\text{ días}$ en pavimentar una calle, ¿cuántos días tardarán $10$ obreros trabajando $6\text{ h/día}$? Además, si transportar $5\text{ ton}$ a $200\text{ km}$ cuesta $\$80.000$, ¿cuánto costará transportar $8\text{ ton}$ a $300\text{ km}$?

  • Paso 1: Para los obreros: Incógnita Días. Obreros es INVERSA ($\frac{10}{6}$) y Horas/día es INVERSA ($\frac{6}{8}$).
  • Paso 2: Ecuación: $\frac{10}{x} = \left(\frac{10}{6}\right) \cdot \left(\frac{6}{8}\right) = \frac{10}{8} \implies x = 8\text{ días}$.
  • Paso 3: Para el transporte: Incógnita Costo. Toneladas es DIRECTA ($\frac{5}{8}$) y Distancia es DIRECTA ($\frac{200}{300}$).
  • Paso 4: Ecuación: $\frac{80000}{x} = \left(\frac{5}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{24} \implies x = \frac{80000 \cdot 24}{10} = $\$192.00$0$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué el transporte de 8 ton a 300 km costó más ($192.000 vs $80.000)?

Procedimiento

  • Paso 1: Organizar el enunciado en una tabla con encabezados claros y unidades uniformes.
  • Paso 2: Determinar si cada columna es Directa (D) o Inversa (I) respecto a la incógnita mediante ceteris paribus.
  • Paso 3: Formular la proporción $\frac{A_1}{x} = \prod R_D \cdot \prod R_I$ y simplificar las fracciones.
  • Paso 4: Despejar $x$ y redactar la respuesta con su unidad de medida y verificación contextual.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Mezclar unidades (ej: días con semanas). Cómo corregirlo: Convertir semanas a días ($1\text{ sem} = 7\text{ d}$) antes de construir la tabla.
  • Error 2: No validar el sentido del resultado. Cómo corregirlo: Revisar lógicamente: ¿si aumentaron los obreros y las horas, tiene sentido que tarden menos días? Si la respuesta es sí, el planteamiento es consistente.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $4$ tractores aran $60\text{ ha}$ en $5\text{ días}$, ¿cuántos días tardan $6$ tractores en arar $90\text{ ha}$?
2 8 costureras hacen 160 camisas en 4 días trabajando 6 h/d. ¿Cuántas camisas hacen 10 costureras en 6 días trabajando 8 h/d?
3 ¿Es indispensable homogeneizar las unidades de tiempo antes de operar?
4 ¿Se pueden resolver problemas compuestos con todas las magnitudes directas?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La homogeneización dimensional es el requisito previo fundamental."
"Clasificar incorrectamente una magnitud como directa siendo inversa."
"El resultado obtenido debe verificarse mediante un análisis de sentido común en contexto."
"Cometer errores al despejar $x$ en la ecuación final."
"No homogeneizar unidades de medida entre estados."
"No revisar la coherencia física de la solución obtenida."
"El protocolo en 4 pasos garantiza una resolución sistemática y libre de errores."

Al terminar debes poder

Síntesis de resolución de problemas compuestos

🎯 QUÉ Objetivo

Resolver problemas contextuales complejos aplicando proporcionalidad compuesta directa, inversa o mixta.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Siguiendo el protocolo de 4 pasos (tabla de datos homogeneizada, clasificación D/I ceteris paribus, planteamiento de la ecuación de razones y despeje simplificado con verificación de sentido común).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v1)

  2. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v2)

  3. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si en un problema se menciona '15 días' en una frase y '2 semanas' en la pregunta para la misma variable, antes de resolver debes:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

  2. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

  3. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v2)

  2. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v3)

  3. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v1)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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