Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

La resolución de problemas de proporcionalidad compuesta sigue un protocolo de cuatro pasos: organizar los datos en una tabla, determinar el tipo de relación (directa/inversa) de cada magnitud con la incógnita, formular la ecuación de razones y despejar el valor final con coherencia dimensional.

Explicación en palabras simples

Resolución de problemas compuestos

Para resolver con éxito cualquier problema de proporcionalidad compuesta, aplica siempre este protocolo en 4 pasos:

  1. Paso 1: Construir la tabla de datos
  2. Escribe en columnas cada magnitud con sus unidades (asegúrate de que las unidades estén homogeneizadas, ej: todo en horas o todo en días).
  3. Paso 2: Identificar el tipo de relación (D o I)
  4. Compara cada magnitud con la columna de la incógnita (bajo ceteris paribus).
  5. Paso 3: Armar la ecuación de proporciones
  6. $\frac{\text{Incógnita}_1}{\text{Incógnita}_2} = \prod (\text{Directas: } 1/2) \cdot \prod (\text{Inversas: } 2/1)$.
  7. Paso 4: Simplificar, despejar y validar
  8. Despeja $x$ y comprueba que la respuesta tenga sentido lógico en el contexto del problema.

Explicación formal

Sea un problema en contexto con magnitudes $\{M_0, M_1, \dots, M_n\}$ donde $M_0$ es la magnitud incógnita.

Protocolo Algorítmico Formal:
1. Homogeneización Dimensional:
$$\forall j \in \{0, \dots, n\}, \quad [M_j^{(1)}] = [M_j^{(2)}]$$
2. Clasificación Funcional por Signo del Gradiente:
$$s_j = \operatorname{sgn}\left(\frac{\partial M_0}{\partial M_j}\right) \implies s_j = +1 \text{ (Directa)}, \quad s_j = -1 \text{ (Inversa)}$$
3. Construcción del Sistema de Razones:
$$\frac{M_0^{(1)}}{M_0^{(2)}} = \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{M_j^{(1)}}{M_j^{(2)}}\right)^{s_j}$$
4. Solución Explícita y Validación:
$$x = M_0^{(2)} = M_0^{(1)} \cdot \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{M_j^{(2)}}{M_j^{(1)}}\right)^{s_j}$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es el primer paso indispensable antes de escribir la ecuación de proporcionalidad compuesta?

Definiciones clave

  • Protocolo de 4 pasos: Método estructurado para resolver problemas compuestos sin errores.
  • Homogeneización dimensional: Conversión de todas las magnitudes a unidades compatibles.
  • Validación contextual: Comprobación del sentido físico o económico del resultado numérico.

Propiedades y relaciones importantes

  • Robustez algorítmica: Evita confusiones independientemente de la complejidad del enunciado.
  • Universalidad: Aplica a problemas de construcción, transporte, rendimiento agrícola, manufactura y finanzas.

Ejemplo guiado

Ejemplos de problemas compuestos

Si $6$ obreros trabajando $8\text{ h/día}$ tardan $10\text{ días}$ en pavimentar una calle, ¿cuántos días tardarán $10$ obreros trabajando $6\text{ h/día}$? Además, si transportar $5\text{ ton}$ a $200\text{ km}$ cuesta $\$80.000$, ¿cuánto costará transportar $8\text{ ton}$ a $300\text{ km}$?

  • Paso 1: Para los obreros: Incógnita Días. Obreros es INVERSA ($\frac{10}{6}$) y Horas/día es INVERSA ($\frac{6}{8}$).
  • Paso 2: Ecuación: $\frac{10}{x} = \left(\frac{10}{6}\right) \cdot \left(\frac{6}{8}\right) = \frac{10}{8} \implies x = 8\text{ días}$.
  • Paso 3: Para el transporte: Incógnita Costo. Toneladas es DIRECTA ($\frac{5}{8}$) y Distancia es DIRECTA ($\frac{200}{300}$).
  • Paso 4: Ecuación: $\frac{80000}{x} = \left(\frac{5}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{24} \implies x = \frac{80000 \cdot 24}{10} = $\$192.00$0$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué el transporte de 8 ton a 300 km costó más ($192.000 vs $80.000)?

Procedimiento

  • Paso 1: Organizar el enunciado en una tabla con encabezados claros y unidades uniformes.
  • Paso 2: Determinar si cada columna es Directa (D) o Inversa (I) respecto a la incógnita mediante ceteris paribus.
  • Paso 3: Formular la proporción $\frac{A_1}{x} = \prod R_D \cdot \prod R_I$ y simplificar las fracciones.
  • Paso 4: Despejar $x$ y redactar la respuesta con su unidad de medida y verificación contextual.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Mezclar unidades (ej: días con semanas). Cómo corregirlo: Convertir semanas a días ($1\text{ sem} = 7\text{ d}$) antes de construir la tabla.
  • Error 2: No validar el sentido del resultado. Cómo corregirlo: Revisar lógicamente: ¿si aumentaron los obreros y las horas, tiene sentido que tarden menos días? Si la respuesta es sí, el planteamiento es consistente.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $4$ tractores aran $60\text{ ha}$ en $5\text{ días}$, ¿cuántos días tardan $6$ tractores en arar $90\text{ ha}$?
2 8 costureras hacen 160 camisas en 4 días trabajando 6 h/d. ¿Cuántas camisas hacen 10 costureras en 6 días trabajando 8 h/d?
3 ¿Es indispensable homogeneizar las unidades de tiempo antes de operar?
4 ¿Se pueden resolver problemas compuestos con todas las magnitudes directas?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No revisar la coherencia física de la solución obtenida."
"No homogeneizar unidades de medida entre estados."
"Cometer errores al despejar $x$ en la ecuación final."
"El resultado obtenido debe verificarse mediante un análisis de sentido común en contexto."
"El protocolo en 4 pasos garantiza una resolución sistemática y libre de errores."
"Clasificar incorrectamente una magnitud como directa siendo inversa."
"La homogeneización dimensional es el requisito previo fundamental."

Al terminar debes poder

Síntesis de resolución de problemas compuestos

🎯 QUÉ Objetivo

Resolver problemas contextuales complejos aplicando proporcionalidad compuesta directa, inversa o mixta.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Siguiendo el protocolo de 4 pasos (tabla de datos homogeneizada, clasificación D/I ceteris paribus, planteamiento de la ecuación de razones y despeje simplificado con verificación de sentido común).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v1)

  2. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v2)

  3. Al enfrentar un problema de proporcionalidad compuesta en la vida real, el primer paso organizativo recomendado es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si en un problema se menciona '15 días' en una frase y '2 semanas' en la pregunta para la misma variable, antes de resolver debes:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

  2. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

  3. ¿Si $2/x = (3/2) \cdot (4/3)$, entonces $x = 1$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v2)

  2. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v3)

  3. Una cuadrilla de $10$ obreros pavimenta $500$ metros de calle trabajando $8$ horas diarias durante $5$ días. Si se contrata a una nueva cuadrilla de $15$ obreros para pavimentar $1000$ metros de la misma calle trabajando $10$ horas diarias, ¿cuántos días tardarán? (v1)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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