Cálculo de porcentaje de un porcentaje
Resumen inicial
El cálculo de porcentaje de un porcentaje consiste en aplicar sucesivamente dos o más porcentajes multiplicando sus expresiones decimales o fraccionarias ($a\% \text{ del } b\% \text{ de } N = \frac{a \cdot b}{10.000} \cdot N$).
Explicación en palabras simples
Cuando te piden calcular el "20% del 50% de una cantidad", los porcentajes se multiplican entre sí, ¡NUNCA se suman! Como la palabra "de" significa multiplicación, el cálculo es: $0,20 \cdot 0,50 = 0,10$, lo que equivale simplemente al $10\%$ del total. Así, el $20\%$ del $50\%$ de $\$100.000$ es $\$10.000$.
Explicación formal
Formulación algebraica del encadenamiento
Sean $a\%, b\% \in \mathbb{R}^+$ dos tasas porcentuales y $N \in \mathbb{R}^+$ una cantidad base. La composición de operadores porcentuales se define como:
$$P = a\% \left(b\%(N)\right) = \left(\frac{a}{100}\right) \cdot \left(\frac{b}{100}\right) \cdot N = \left(\frac{a \cdot b}{10.000}\right) \cdot N$$
Tasa porcentual única equivalente
La tasa única $c_{\text{eq}}\%$ que produce el mismo efecto que la aplicación compuesta de $a\%$ y $b\%$ es:
$$c_{\text{eq}}\% = \left(\frac{a \cdot b}{100}\right)\%$$
Generalización a $k$ porcentajes sucesivos
$$p_1\% \text{ de } p_2\% \text{ de } \dots \text{ de } p_k\% \text{ de } N = \left(\prod_{i=1}^k \frac{p_i}{100}\right) \cdot N$$
La alternativa correcta es $25\%$. $0,50 \cdot 0,50 = 0,25 \implies 25\%$. La mitad de la mitad es un cuarto (25%).
Definiciones clave
- Porcentajes encadenados: Aplicación iterada de operadores porcentuales sobre resultados sucesivos.
- Tasa única equivalente: Porcentaje único que resume el producto de las tasas decimales ($c_{\text{eq}} = \frac{a \cdot b}{100}$).
- Naturaleza multiplicativa: Propiedad de los operadores de escala donde cada porcentaje actúa como factor multiplicador.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad del encadenamiento: El $a\%$ del $b\%$ es idéntico al $b\%$ del $a\%$: $\left(\frac{a}{100}\right)\left(\frac{b}{100}\right) = \left(\frac{b}{100}\right)\left(\frac{a}{100}\right)$.
- Reducción de magnitud: Si $a, b < 100$, la tasa compuesta $\frac{a \cdot b}{100}$ es estrictamente menor que cada tasa individual.
Ejemplo guiado
Calcula el $20\%$ del $40\%$ de $\$500.000$ y determina a qué porcentaje único equivalente corresponde.
- Paso 1: Convertimos cada porcentaje a su número decimal: $20\% = 0,20$ y $40\% = 0,40$.
- Paso 2: Multiplicamos los factores decimales para hallar la tasa única equivalente: $0,20 \cdot 0,40 = 0,08$.
- Paso 3: Convertimos el decimal a porcentaje: $0,08 = 8\%$. El cálculo equivale al $8\%$ directo.
- Paso 4: Multiplicamos por el total: $0,08 \cdot 500.000 = $\$40.00$0$.
- Paso 5: Conclusión: El $20\%$ del $40\%$ de $\$500.000$ es **$40.000** (tasa equivalente del **8%**).
La alternativa correcta es $60$. $0,10 \cdot 0,30 = 0,03$ ($3\%$). Luego, $0,03 \cdot 2.000 = 60$.
Procedimiento
- Paso 1: Expresar cada porcentaje como número decimal dividiendo por $100$.
- Paso 2: Multiplicar todos los números decimales entre sí para obtener el factor decimal global.
- Paso 3: Multiplicar el factor decimal global por la cantidad base total $N$.
- Paso 4: Si se pide el porcentaje equivalente, multiplicar el factor decimal global por $100\%$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los porcentajes en lugar de multiplicarlos (ej: creer que el $20\%$ del $30\%$ es $50\%$ en vez del $6\%$). Cómo corregirlo: La preposición "de" indica producto: $0,20 \cdot 0,30 = 0,06 = 6\%$.
- Error 2: Dividir por 100 solo una vez al final al operar con los números enteros (hacer $(20 \cdot 30)/100 = 600/100 = 6$ pero aplicarlo como $6$ entero en vez de $6\%$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Multiplicamos decimales: $0,25 \cdot 0,60 = 0,15$.
- Convertimos a porcentaje: $0,15 \cdot 100\% = 15\%$.
- Sí. $0,10 \cdot 0,10 = 0,01$ ($1\%$). Luego $0,01 \cdot 10.000 = 100$.
- Sí. En ambos casos la tasa equivalente es $0,30 \cdot 0,80 = 0,24 = 24\%$.
- Sí. $(1/2) \cdot (1/2) \cdot (1/2) = 1/8$. Y $800 / 8 = 100$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Resolver problemas de porcentajes encadenados y determinar la tasa única equivalente.
Multiplicando sucesivamente los factores decimales asociados ($P = a_{\text{dec}} \cdot b_{\text{dec}} \cdot N$), reconociendo la naturaleza puramente multiplicativa del encadenamiento.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para calcular matemáticamente a qué porcentaje único equivale el 'X% del Y%' de una cantidad, se debe: (v2)
La palabra 'del' implica multiplicación de fracciones.
Respuesta: A) Multiplicar las fracciones $(X/100)$ y $(Y/100)$.
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Para calcular matemáticamente a qué porcentaje único equivale el 'X% del Y%' de una cantidad, se debe: (v3)
La palabra 'del' implica multiplicación de fracciones.
Respuesta: A) Multiplicar las fracciones $(X/100)$ y $(Y/100)$.
-
Para calcular matemáticamente a qué porcentaje único equivale el 'X% del Y%' de una cantidad, se debe: (v1)
La palabra 'del' implica multiplicación de fracciones.
Respuesta: A) Multiplicar las fracciones $(X/100)$ y $(Y/100)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El $10\%$ del $10\%$ equivale a un porcentaje único del:
$(10/100) \cdot (10/100) = 1/10 \cdot 1/10 = 1/100 = 1\%$.
Respuesta: A) $1\%$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El $50\%$ del $80\%$ es equivalente al $40\%$ del total?
La mitad ($50\%$) de 80 es 40.
Respuesta: Verdadero
-
¿El $50\%$ del $80\%$ es equivalente al $40\%$ del total?
La mitad ($50\%$) de 80 es 40.
Respuesta: Verdadero
-
¿El $50\%$ del $80\%$ es equivalente al $40\%$ del total?
La mitad ($50\%$) de 80 es 40.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una parcela de tierra es vendida y el dueño original conserva el $30\%$. Luego, decide ceder el $40\%$ de lo que conservó a su hijo. ¿Qué porcentaje del total de la parcela original recibió el hijo? (v1)
$40\%$ del $30\%$ = $(40/100) \cdot (30/100) = (4/10) \cdot (3/10) = 12/100 = 12\%$.
Respuesta: A) $12\%$
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Una parcela de tierra es vendida y el dueño original conserva el $30\%$. Luego, decide ceder el $40\%$ de lo que conservó a su hijo. ¿Qué porcentaje del total de la parcela original recibió el hijo? (v2)
$40\%$ del $30\%$ = $(40/100) \cdot (30/100) = (4/10) \cdot (3/10) = 12/100 = 12\%$.
Respuesta: A) $12\%$
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Una parcela de tierra es vendida y el dueño original conserva el $30\%$. Luego, decide ceder el $40\%$ de lo que conservó a su hijo. ¿Qué porcentaje del total de la parcela original recibió el hijo? (v3)
$40\%$ del $30\%$ = $(40/100) \cdot (30/100) = (4/10) \cdot (3/10) = 12/100 = 12\%$.
Respuesta: A) $12\%$