Cálculo del interés simple

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo del interés simple evalúa la ganancia o costo $I$ aplicando la fórmula $I = C \cdot i \cdot t$, adecuando el tiempo $t$ a la unidad de la tasa (en años $t = a$, en meses $t = \frac{m}{12}$, en días $t = \frac{d}{360}$).

Explicación en palabras simples

Para calcular exactamente cuánto interés ganas o pagas en un período:
1. Tomas la cantidad inicial $C$.
2. La multiplicas por la tasa en decimal ($i = r / 100$).
3. La multiplicas por el tiempo $t$.

¡Ojo con el tiempo! Si la tasa es anual pero el tiempo te lo dan en meses, debes dividir los meses entre 12. Por ejemplo, 6 meses son $\frac{6}{12} = 0,5$ años. Si te lo dan en días, en finanzas comerciales se divide entre 360 (año comercial).

Cálculo del interés simple

Explicación formal

Definición formal

El cálculo del interés simple acumulado $I$ para un capital $C$ a una tasa de interés nominal anual $r\%$ viene dado por la expresión:
$$I = C \cdot \left(\frac{r}{100}\right) \cdot t$$

Variaciones por unidad de tiempo

  1. Tiempo en años ($t = a$):
    $$I = \frac{C \cdot r \cdot a}{100}$$
  2. Tiempo en meses ($t = \frac{m}{12}$):
    $$I = \frac{C \cdot r \cdot m}{1.200}$$
  3. Tiempo en días (Año comercial de 360 días, $t = \frac{d}{360}$):
    $$I = \frac{C \cdot r \cdot d}{36.000}$$

Proporcionalidad del interés simple

Dado un capital fijo $C$ y una tasa fija $r\%$, el interés generado en un lapso de $n$ meses es exactamente igual a $n$ veces el interés generado en un solo mes: $I(m) = m \cdot I(1)$.

Síntesis didáctica

  • Tiempo en años: $I = \frac{C \cdot r \cdot a}{100}$.
  • Tiempo en meses: $I = \frac{C \cdot r \cdot m}{1.200}$.
  • Tiempo en días: $I = \frac{C \cdot r \cdot d}{36.000}$.
Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula correcta para calcular el interés simple si la tasa es anual y el tiempo está expresado en meses ($m$)?

Definiciones clave

  • Tasa nominal anual ($r\%$): Porcentaje de interés fijado con referencia a un período completo de 12 meses.
  • Año comercial: Convención financiera que estandariza la duración del año en 360 días (12 meses de 30 días).
  • Conversión de período: Ajuste algebraico del divisor para homologar las unidades temporales de la tasa y el plazo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Escalamiento lineal por plazo: Duplicar los meses de permanencia manteniendo el capital duplica exactamente el monto del interés obtenido.
  • Independencia de períodos intermedios: Calcular el interés total por 3 años da el mismo resultado exacto que sumar 3 cálculos individuales de 1 año.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un préstamo de $\$500.000$ se otorga a una tasa de interés simple anual del $12\%$ durante $9$ meses. Calcula el interés cobrado.

  • Paso 1: Identificamos $C = 500.000$, tasa anual $r = 12\%$ e intervalo $m = 9\text{ meses}$.
  • Paso 2: Como el tiempo está en meses y la tasa es anual, usamos la fórmula $I = \frac{C \cdot r \cdot m}{1.200}$.
  • Paso 3: Sustituimos los valores: $I = \frac{500.000 \cdot 12 \cdot 9}{1.200}$.
  • Paso 4: Simplificamos $12 / 1.200 = 1/100$: $I = \frac{500.000 \cdot 9}{100} = 5.000 \cdot 9 = 45.000$. El interés es de **$\$45.000$**.
Comprueba tu avance ¿Cuánto interés simple genera un capital de $\$100.000$ colocado al $6\%$ anual durante $6$ meses?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el capital $C$, la tasa $r\%$ y el plazo.
  • Paso 2: Seleccionar el divisor según la unidad del plazo: 100 para años, 1.200 para meses, 36.000 para días.
  • Paso 3: Multiplicar $C \cdot r \cdot \text{plazo}$ en el numerador.
  • Paso 4: Dividir el producto entre el divisor correspondiente para obtener $I$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Introducir directamente el número de meses en la fórmula $I = \frac{C \cdot r \cdot t}{100}$ creyendo que $t$ son meses. Cómo corregirlo: Si $t$ está en meses, debes usar el divisor $1.200$ para convertir los meses a su fracción anual ($m/12$).
  • Error 2: Usar 365 días en el año comercial estándar sin verificar el enunciado. Cómo corregirlo: En la gran mayoría de los problemas de matemática comercial el año se estandariza en 360 días (divisor 36.000).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el interés de $\$200.000$ colocado al $10\%$ anual durante 6 meses?
2 ¿Cuánto interés simple generan $\$360.000$ al $5\%$ anual en un plazo de 90 días comerciales?
3 ¿Cuál es el interés acumulado de $\$400.000$ al $8\%$ anual al cabo de 2 años?
4 Si la tasa es $1\%$ mensual y el plazo es 5 meses sobre un capital de $\$100.000$, ¿cuál es el interés?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El año comercial estandarizado en finanzas consta de $360$ días, por lo que el divisor para días es $36.000$."
"El interés devengado en un préstamo a interés simple incluye automáticamente la devolución del capital inicial."
"El interés simple para un plazo en meses $m$ a una tasa anual $r\%$ se calcula mediante $I = \frac{C \cdot r \cdot m}{1.200}$."
"El interés simple para un plazo en meses se calcula dividiendo el producto $C \cdot r \cdot m$ únicamente entre $100$."
"La fórmula del interés simple en días comerciales utiliza un divisor de $3.600$ en lugar de $36.000$."
"El cálculo del interés simple mensual requiere multiplicar la tasa anual por $12$ en lugar de dividirla."
"El año comercial estándar en cálculos financieros de interés simple se define con $365$ días."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el interés simple devengado adecuando el modelo a plazos expresados en años, meses o días comerciales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Emplear la fórmula con divisor adaptado: $I = \frac{C \cdot r \cdot a}{100}$ para años, $I = \frac{C \cdot r \cdot m}{1.200}$ para meses, o $I = \frac{C \cdot r \cdot d}{36.000}$ para días comerciales (base 360).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En la fórmula del interés simple $I = C \cdot i \cdot t$, ¿qué condición fundamental deben cumplir las variables 'i' y 't'? (v3)

  2. En la fórmula del interés simple $I = C \cdot i \cdot t$, ¿qué condición fundamental deben cumplir las variables 'i' y 't'? (v1)

  3. En la fórmula del interés simple $I = C \cdot i \cdot t$, ¿qué condición fundamental deben cumplir las variables 'i' y 't'? (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Para usar un interés del $8\%$ en la fórmula matemática general de interés simple, el número que debes ingresar en la variable 'i' es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El interés simple generado por $\$10.000$ al $5\%$ anual durante $2$ años se calcula como $10000 \cdot 0.05 \cdot 2 = 1000$?

  2. ¿El interés simple generado por $\$10.000$ al $5\%$ anual durante $2$ años se calcula como $10000 \cdot 0.05 \cdot 2 = 1000$?

  3. ¿El interés simple generado por $\$10.000$ al $5\%$ anual durante $2$ años se calcula como $10000 \cdot 0.05 \cdot 2 = 1000$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un prestamista facilita $\$500.000$ a un cliente a una tasa de interés simple del $2\%$ mensual. Si el cliente devuelve todo el dinero prestado más los intereses al cabo de $6$ meses, ¿cuánto dinero total deberá entregarle al prestamista? (v1)

  2. Un prestamista facilita $\$500.000$ a un cliente a una tasa de interés simple del $2\%$ mensual. Si el cliente devuelve todo el dinero prestado más los intereses al cabo de $6$ meses, ¿cuánto dinero total deberá entregarle al prestamista? (v2)

  3. Un prestamista facilita $\$500.000$ a un cliente a una tasa de interés simple del $2\%$ mensual. Si el cliente devuelve todo el dinero prestado más los intereses al cabo de $6$ meses, ¿cuánto dinero total deberá entregarle al prestamista? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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