Modelamiento exponencial del interés compuesto
Reconocer y modelar situaciones financieras mediante funciones exponenciales.
Introducción
Las matemáticas tienen patrones. Cuando sumas lo mismo cada vez, haces una escalera recta (lineal). Cuando multiplicas por lo mismo cada vez, construyes un cohete hacia el cielo (exponencial). Así crece el interés compuesto.
Explicación
En la PAES a menudo no te piden calcular dinero, sino identificar el tipo de modelo matemático.
- Interés Simple $\rightarrow$ Suma constante $\rightarrow$ Modelo Lineal (Línea recta).
- Interés Compuesto $\rightarrow$ Multiplicación constante por $(1+i)$ $\rightarrow$ Modelo Exponencial (Curva).
Si analizamos la fórmula $M(t) = C \cdot (1+i)^t$ como una función:
- La variable independiente (la $x$) es el tiempo $t$, y está ubicada en el exponente.
- Por lo tanto, el dinero crece de forma exponencial.
- Como la base $(1+i)$ siempre es mayor que $1$ (porque la tasa es positiva), es una función exponencial de crecimiento (la curva va hacia arriba).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica si el problema describe un crecimiento donde los intereses se capitalizan.
- Paso 2: Si hay capitalización, asocia inmediatamente la situación a un modelo exponencial.
- Paso 3: Construye la función: $f(x) = Capital \cdot (Factor)^x$.
Ejemplos
1 Una persona debe $100.000 en su tarjeta, la cual cobra 3% de interés compuesto mensual. Modela su deuda total en función de los meses 'x'.
- Capital = 100.000. Tasa = 0.03. Factor = 1.03.
- La variable tiempo es 'x'.
- La función exponencial es $f(x) = 100.000 \cdot (1.03)^x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que la función es cuadrática porque tiene un exponente (las cuadráticas tienen el 2 fijo como exponente, las exponenciales tienen la variable 'x' en el exponente)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asignar un modelo lineal al interés compuesto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La fórmula del interés compuesto $M(t) = C \cdot (1+i)^t$ es una función exponencial $f(x) = a \cdot b^x$. El capital inicial '$C$' es el valor inicial ($a$), y el factor $(1+i)$ es la base de crecimiento ($b$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, una cuenta de ahorros que opera con interés compuesto y no recibe nuevos depósitos describe un crecimiento del tipo: (v1)
El interés compuesto se basa en potencias donde la variable es el tiempo, lo que define una función exponencial.
Respuesta: A) Exponencial.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, una cuenta de ahorros que opera con interés compuesto y no recibe nuevos depósitos describe un crecimiento del tipo: (v2)
El interés compuesto se basa en potencias donde la variable es el tiempo, lo que define una función exponencial.
Respuesta: A) Exponencial.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, una cuenta de ahorros que opera con interés compuesto y no recibe nuevos depósitos describe un crecimiento del tipo: (v3)
El interés compuesto se basa en potencias donde la variable es el tiempo, lo que define una función exponencial.
Respuesta: A) Exponencial.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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En la función exponencial de interés compuesto $M(t) = C \cdot (1+i)^t$, la variable independiente '$t$' se encuentra ubicada en:
Por eso se llama exponencial, la variable de tiempo es el exponente.
Respuesta: A) El exponente.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La deuda de un crédito con interés compuesto mensual del $2\%$ inicial de $\$50.000$ se modela con la función $f(x) = 50.000 \cdot (1.02)^x$?
Sí, C=50.000, factor=1.02, exponente variable x.
Respuesta: Verdadero
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¿La deuda de un crédito con interés compuesto mensual del $2\%$ inicial de $\$50.000$ se modela con la función $f(x) = 50.000 \cdot (1.02)^x$?
Sí, C=50.000, factor=1.02, exponente variable x.
Respuesta: Verdadero
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¿La deuda de un crédito con interés compuesto mensual del $2\%$ inicial de $\$50.000$ se modela con la función $f(x) = 50.000 \cdot (1.02)^x$?
Sí, C=50.000, factor=1.02, exponente variable x.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El valor de un terreno de alta plusvalía aumenta su valor comercial a una tasa compuesta del $12\%$ anual. Si hoy el terreno está avaluado en $\$80.000.000$, ¿qué función $V(t)$ permite proyectar el valor del terreno en un tiempo de '$t$' años? (v2)
Factor = $1 + 0.12 = 1.12$. Función Exponencial: $C \cdot ( ext{factor})^t$. Opción D es modelo lineal (simple).
Respuesta: A) $V(t) = 80.000.000 \cdot (1.12)^t$
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El valor de un terreno de alta plusvalía aumenta su valor comercial a una tasa compuesta del $12\%$ anual. Si hoy el terreno está avaluado en $\$80.000.000$, ¿qué función $V(t)$ permite proyectar el valor del terreno en un tiempo de '$t$' años? (v3)
Factor = $1 + 0.12 = 1.12$. Función Exponencial: $C \cdot ( ext{factor})^t$. Opción D es modelo lineal (simple).
Respuesta: A) $V(t) = 80.000.000 \cdot (1.12)^t$
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El valor de un terreno de alta plusvalía aumenta su valor comercial a una tasa compuesta del $12\%$ anual. Si hoy el terreno está avaluado en $\$80.000.000$, ¿qué función $V(t)$ permite proyectar el valor del terreno en un tiempo de '$t$' años? (v1)
Factor = $1 + 0.12 = 1.12$. Función Exponencial: $C \cdot ( ext{factor})^t$. Opción D es modelo lineal (simple).
Respuesta: A) $V(t) = 80.000.000 \cdot (1.12)^t$