Comparación entre regímenes de interés

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La comparación entre regímenes de interés contrasta el crecimiento lineal afín del interés simple ($M_s = C(1 + in)$) frente a la curva exponencial del interés compuesto ($M_c = C(1 + i)^n$).

Explicación en palabras simples

¿Cuál régimen hace crecer más rápido tu dinero?
- En el primer año ($n = 1$): Ambos regímenes rinden exactamente lo mismo, porque el $10\%$ de $\$100.000$ es $\$10.000$ en los dos.
- A partir del segundo año ($n > 1$): El interés compuesto supera al simple con una ventaja que se agranda cada vez más rápido, porque los intereses ganados empiezan a generar sus propios intereses.

Comparación entre regímenes de interés

Explicación formal

Definición formal

Sean $M_s(n)$ y $M_c(n)$ las funciones de valor acumulado para un mismo capital $C > 0$ y tasa periódica $i > 0$:
- Régimen Simple (Función Afín Lineal):
$$M_s(n) = C \cdot (1 + i \cdot n)$$
- Régimen Compuesto (Función Exponencial):
$$M_c(n) = C \cdot (1 + i)^n$$

Análisis de Puntos Críticos y Desigualdad

  1. En $n = 0$ (Momento inicial):
    $$M_s(0) = M_c(0) = C$$
  2. En $n = 1$ (Primer período de capitalización):
    $$M_s(1) = M_c(1) = C \cdot (1 + i)$$
  3. Para plazos intermedios ($0 < n < 1$):
    $$M_s(n) > M_c(n)$$
  4. Para plazos superiores ($n > 1$):
    $$M_c(n) > M_s(n) \quad \text{(Efecto bola de nieve exponencial)}$$

Síntesis didáctica

  • $n = 1 \implies M_s = M_c$.
  • $n > 1 \implies M_c > M_s$.
  • Curvatura: Recta constante vs. curva exponencial acelerada.
Comprueba tu avance ¿Para qué valor del número de períodos $n$ los montos acumulados por interés simple e interés compuesto son exactamente iguales?

Definiciones clave

  • Punto de indiferencia temporal ($n = 1$): Plazo en el cual ambos regímenes financieros producen exactamente el mismo monto final.
  • Excedente de capitalización: Diferencia positiva $M_c(n) - M_s(n) = C[(1+i)^n - (1+in)]$ obtenida para todo $n > 1$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Desigualdad de Bernoulli: Establece formalmente que $(1 + i)^n > 1 + i \cdot n$ para todo $i > 0$ y $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.
  • Divergencia asintótica: Cuando $n \to \infty$, la razón $\frac{M_c(n)}{M_s(n)} \to \infty$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un inversionista evalúa colocar $\$100.000$ al $10\%$ anual durante $3$ años. Compara el monto final y el interés generado bajo régimen simple versus régimen compuesto.

  • Paso 1: Calculamos interés simple: $M_s = 100.000 \cdot (1 + 0,10 \cdot 3) = 100.000 \cdot 1,30 = $\$130.00$0$ ($I_s = $\$30.00$0$).
  • Paso 2: Calculamos interés compuesto: $M_c = 100.000 \cdot (1,10)^3 = 100.000 \cdot 1,331 = $\$133.10$0$ ($I_c = $\$33.10$0$).
  • Paso 3: Comparamos: El régimen compuesto rinde $\$3.100$ adicionales respecto al simple.
  • Paso 4: Conclusión: $M_c > M_s$ para $n = 3$, confirmando la ventaja exponencial.
Comprueba tu avance Para una inversión a $5$ años con la misma tasa positiva, ¿cuál régimen genera mayor rendimiento acumulado?

Procedimiento

  • Paso 1: Evaluar el monto simple $M_s = C(1 + i \cdot n)$.
  • Paso 2: Evaluar el monto compuesto $M_c = C(1 + i)^n$.
  • Paso 3: Contrastar ambos valores determinando la diferencia $M_c - M_s$.
  • Paso 4: Verificar la consistencia con el horizonte temporal ($n=1 \implies M_s=M_c$; $n>1 \implies M_c>M_s$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Afirmar que el interés compuesto siempre supera al simple para todo valor de $n$ (olvidar $n=1$ y $0<n<1$). Cómo corregirlo: En $n=1$ los montos son idénticos y para fracciones de período $0<n<1$ el régimen simple es mayor.</li>
  • Error 2: Comparar los regímenes utilizando tasas de distinta base temporal. Cómo corregirlo: Ambos cálculos deben emplear la misma tasa periódica efectiva $i$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $\$50.000$ al $10\%$ anual en 2 años, ¿cuál es la diferencia de ganancia a favor del interés compuesto?
2 ¿El monto acumulado al término del primer año ($n=1$) al $8\%$ sobre $\$100.000$ es $\$108.000$ en ambos regímenes?
3 ¿A medida que el plazo $n$ aumenta, la diferencia monetaria entre el interés compuesto y el simple se incrementa exponencialmente?
4 Para un plazo de medio año ($n = 0,5$) al $10\%$ anual, ¿el interés simple supera ligeramente al compuesto?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Para cualquier plazo $n > 1$ con tasa positiva, el monto final por interés compuesto es estrictamente mayor que el monto por interés simple ($M_c > M_s$)."
"Los modelos simple y compuesto comparten la misma fórmula de factor de acumulación lineal."
"La gráfica del interés compuesto es una recta paralela ubicada por encima de la recta de interés simple."
"La diferencia entre ambos regímenes se reduce a cero cuando el plazo de inversión se extiende a más de diez años."
"En el primer año de inversión ($n=1$), el interés compuesto genera mayores ganancias que el régimen simple."
"El interés compuesto produce un monto final estrictamente superior al interés simple para cualquier valor positivo de $n$, incluyendo $n=1$."
"Para $n = 1$, los montos acumulados bajo régimen simple y compuesto son exactamente iguales ($M_s(1) = M_c(1) = C(1+i)$)."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Comparar el rendimiento y trayectoria del dinero en regímenes de interés simple y compuesto.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Contrastar los modelos $M_s = C(1 + in)$ y $M_c = C(1 + i)^n$, identificando la igualdad en $n=1$ y la dominancia exponencial para $n > 1$.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v1)

  2. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v2)

  3. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. A partir del segundo período ($t>1$), la curva que representa al interés compuesto se ubicará siempre:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

  2. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

  3. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v2)

  2. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v1)

  3. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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