Comparación entre regímenes de interés

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

La comparación entre regímenes de interés contrasta el crecimiento lineal afín del interés simple ($M_s = C(1 + in)$) frente a la curva exponencial del interés compuesto ($M_c = C(1 + i)^n$).

Explicación en palabras simples

¿Cuál régimen hace crecer más rápido tu dinero?
- En el primer año ($n = 1$): Ambos regímenes rinden exactamente lo mismo, porque el $10\%$ de $\$100.000$ es $\$10.000$ en los dos.
- A partir del segundo año ($n > 1$): El interés compuesto supera al simple con una ventaja que se agranda cada vez más rápido, porque los intereses ganados empiezan a generar sus propios intereses.

Comparación entre regímenes de interés

Explicación formal

Definición formal

Sean $M_s(n)$ y $M_c(n)$ las funciones de valor acumulado para un mismo capital $C > 0$ y tasa periódica $i > 0$:
- Régimen Simple (Función Afín Lineal):
$$M_s(n) = C \cdot (1 + i \cdot n)$$
- Régimen Compuesto (Función Exponencial):
$$M_c(n) = C \cdot (1 + i)^n$$

Análisis de Puntos Críticos y Desigualdad

  1. En $n = 0$ (Momento inicial):
    $$M_s(0) = M_c(0) = C$$
  2. En $n = 1$ (Primer período de capitalización):
    $$M_s(1) = M_c(1) = C \cdot (1 + i)$$
  3. Para plazos intermedios ($0 < n < 1$):
    $$M_s(n) > M_c(n)$$
  4. Para plazos superiores ($n > 1$):
    $$M_c(n) > M_s(n) \quad \text{(Efecto bola de nieve exponencial)}$$

Síntesis didáctica

  • $n = 1 \implies M_s = M_c$.
  • $n > 1 \implies M_c > M_s$.
  • Curvatura: Recta constante vs. curva exponencial acelerada.
Comprueba tu avance ¿Para qué valor del número de períodos $n$ los montos acumulados por interés simple e interés compuesto son exactamente iguales?

Definiciones clave

  • Punto de indiferencia temporal ($n = 1$): Plazo en el cual ambos regímenes financieros producen exactamente el mismo monto final.
  • Excedente de capitalización: Diferencia positiva $M_c(n) - M_s(n) = C[(1+i)^n - (1+in)]$ obtenida para todo $n > 1$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Desigualdad de Bernoulli: Establece formalmente que $(1 + i)^n > 1 + i \cdot n$ para todo $i > 0$ y $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.
  • Divergencia asintótica: Cuando $n \to \infty$, la razón $\frac{M_c(n)}{M_s(n)} \to \infty$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un inversionista evalúa colocar $\$100.000$ al $10\%$ anual durante $3$ años. Compara el monto final y el interés generado bajo régimen simple versus régimen compuesto.

  • Paso 1: Calculamos interés simple: $M_s = 100.000 \cdot (1 + 0,10 \cdot 3) = 100.000 \cdot 1,30 = $\$130.00$0$ ($I_s = $\$30.00$0$).
  • Paso 2: Calculamos interés compuesto: $M_c = 100.000 \cdot (1,10)^3 = 100.000 \cdot 1,331 = $\$133.10$0$ ($I_c = $\$33.10$0$).
  • Paso 3: Comparamos: El régimen compuesto rinde $\$3.100$ adicionales respecto al simple.
  • Paso 4: Conclusión: $M_c > M_s$ para $n = 3$, confirmando la ventaja exponencial.
Comprueba tu avance Para una inversión a $5$ años con la misma tasa positiva, ¿cuál régimen genera mayor rendimiento acumulado?

Procedimiento

  • Paso 1: Evaluar el monto simple $M_s = C(1 + i \cdot n)$.
  • Paso 2: Evaluar el monto compuesto $M_c = C(1 + i)^n$.
  • Paso 3: Contrastar ambos valores determinando la diferencia $M_c - M_s$.
  • Paso 4: Verificar la consistencia con el horizonte temporal ($n=1 \implies M_s=M_c$; $n>1 \implies M_c>M_s$).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Afirmar que el interés compuesto siempre supera al simple para todo valor de $n$ (olvidar $n=1$ y $0<n<1$). Cómo corregirlo: En $n=1$ los montos son idénticos y para fracciones de período $0<n<1$ el régimen simple es mayor.</li>
  • Error 2: Comparar los regímenes utilizando tasas de distinta base temporal. Cómo corregirlo: Ambos cálculos deben emplear la misma tasa periódica efectiva $i$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $\$50.000$ al $10\%$ anual en 2 años, ¿cuál es la diferencia de ganancia a favor del interés compuesto?
2 ¿El monto acumulado al término del primer año ($n=1$) al $8\%$ sobre $\$100.000$ es $\$108.000$ en ambos regímenes?
3 ¿A medida que el plazo $n$ aumenta, la diferencia monetaria entre el interés compuesto y el simple se incrementa exponencialmente?
4 Para un plazo de medio año ($n = 0,5$) al $10\%$ anual, ¿el interés simple supera ligeramente al compuesto?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La gráfica del interés compuesto es una recta paralela ubicada por encima de la recta de interés simple."
"Para cualquier plazo $n > 1$ con tasa positiva, el monto final por interés compuesto es estrictamente mayor que el monto por interés simple ($M_c > M_s$)."
"El interés compuesto produce un monto final estrictamente superior al interés simple para cualquier valor positivo de $n$, incluyendo $n=1$."
"Los modelos simple y compuesto comparten la misma fórmula de factor de acumulación lineal."
"Para $n = 1$, los montos acumulados bajo régimen simple y compuesto son exactamente iguales ($M_s(1) = M_c(1) = C(1+i)$)."
"La diferencia entre ambos regímenes se reduce a cero cuando el plazo de inversión se extiende a más de diez años."
"En el primer año de inversión ($n=1$), el interés compuesto genera mayores ganancias que el régimen simple."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Comparar el rendimiento y trayectoria del dinero en regímenes de interés simple y compuesto.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Contrastar los modelos $M_s = C(1 + in)$ y $M_c = C(1 + i)^n$, identificando la igualdad en $n=1$ y la dominancia exponencial para $n > 1$.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v1)

  2. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v2)

  3. Si comparamos una deuda sujeta a interés simple y otra idéntica sujeta a interés compuesto (misma tasa y capital), ¿qué ocurre matemáticamente durante el PRIMER período de tiempo ($t=1$)? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. A partir del segundo período ($t>1$), la curva que representa al interés compuesto se ubicará siempre:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

  2. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

  3. ¿Si una inversión a interés simple da $\$1.200$ en total tras 2 años, una inversión idéntica pero a interés compuesto dará más de $\$1.200$ en el mismo plazo?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v1)

  2. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v2)

  3. Dos hermanos, Juan y Pedro, abren cuentas de ahorro depositando cada uno $\$500.000$. La cuenta de Juan opera bajo régimen de interés simple al $8\%$ anual, mientras que la de Pedro opera con interés compuesto al $8\%$ anual. Si deciden revisar sus saldos justo al cumplirse el primer año ($12$ meses), ¿qué se puede concluir con certeza matemática? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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