Cálculo del número de períodos en capitalización compuesta
Resumen inicial
El cálculo del número de períodos $n$ en capitalización compuesta determina el plazo de inversión resolviendo la ecuación exponencial mediante logaritmos: $n = \frac{\log(M / C)}{\log(1 + i)}$.
Explicación en palabras simples
Si quieres saber cuántos años o períodos tardará un dinero $C$ en convertirse en una meta $M$ a una tasa compuesta $i$, debes resolver una ecuación donde la incógnita está en el exponente.
Para bajar el exponente se usan los logaritmos:
1. Divides el monto final entre el capital ($M / C$) y calculas su logaritmo: $\log(M / C)$.
2. Calculas el logaritmo del factor de crecimiento: $\log(1 + i)$.
3. Divides ambos logaritmos: $n = \frac{\log(M / C)}{\log(1 + i)}$.
Explicación formal
Definición formal
El número de períodos de capitalización $n$ es la variable temporal discreta que satisface la ecuación exponencial del monto compuesto:
$$M = C \cdot (1 + i)^n \implies (1 + i)^n = \frac{M}{C}$$
Aplicando logaritmo decimal o natural a ambos miembros:
$$\log\left[(1 + i)^n\right] = \log\left(\frac{M}{C}\right) \implies n \cdot \log(1 + i) = \log\left(\frac{M}{C}\right)$$
Despejando la variable $n$:
$$n = \frac{\log\left(\frac{M}{C}\right)}{\log(1 + i)} = \frac{\log M - \log C}{\log(1 + i)}$$
Síntesis didáctica
- Ecuación logarítmica: $n = \frac{\log(M / C)}{\log(1 + i)}$.
- Propiedad empleada: $\log(x^k) = k \cdot \log(x)$.
La alternativa correcta es 'Dividir el logaritmo de la razón $M/C$ entre el logaritmo de $(1+i)$ ($n = \frac{\log(M/C)}{\log(1+i)}$)'. Aplicando logaritmos se despeja el exponente $n$.
Definiciones clave
- Ecuación exponencial financiera: Ecuación de la forma $a^n = b$ donde la incógnita es el número de períodos $n$.
- Cociente de logaritmos: Operación que divide dos valores escalares reales para determinar el exponente exacto.
Propiedades y relaciones importantes
- Invariancia de base logarítmica: El resultado de $n$ es idéntico utilizando logaritmos en base 10 ($\log$) o logaritmos naturales ($\ln$).
- Sensibilidad temporal: Duplicar la tasa de interés $i$ reduce el tiempo necesario $n$ en más del $50\%$ debido a la curvatura exponencial.
Ejemplo guiado
¿Cuántos años debe permanecer depositado un capital de $\$100.000$ colocado al $10\%$ anual de interés compuesto para alcanzar un monto final de $\$133.100$?
- Paso 1: Identificamos $C = 100.000$, $M = 133.100$ e $i = 0,10 \implies 1 + i = 1,10$.
- Paso 2: Evaluamos la razón de acumulación: $\frac{M}{C} = \frac{133.100}{100.000} = 1,331$.
- Paso 3: Planteamos la ecuación exponencial: $(1,10)^n = 1,331$.
- Paso 4: Como $1,331 = (1,10)^3$, o aplicando $n = \frac{\log(1,331)}{\log(1,10)} = 3$. El tiempo requerido es de **$3$ años**.
La alternativa correcta es 'Aproximadamente $7,27$ años ($0,3010 / 0,0414 \approx 7,27$)'. $n = 0,3010 / 0,0414 \approx 7,27\text{ años}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar capital inicial $C$, monto deseado $M$ y tasa periódica $i$.
- Paso 2: Calcular la razón de crecimiento $\frac{M}{C}$ y la base $(1 + i)$.
- Paso 3: Aplicar logaritmos a ambos términos: $\log(M/C)$ y $\log(1+i)$.
- Paso 4: Dividir los valores logarítmicos para obtener $n = \frac{\log(M/C)}{\log(1+i)}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Restar los logaritmos creyendo que $\frac{\log A}{\log B} = \log A - \log B$. Cómo corregirlo: La resta de logaritmos equivale al logaritmo del cociente $\log(A/B)$; la división $\frac{\log A}{\log B}$ es una división escalar normal.
- Error 2: Despejar $n$ mediante la fórmula de interés simple $n = \frac{M-C}{C \cdot i}$. Cómo corregirlo: La incógnita $n$ se encuentra en el exponente y requiere obligatoriamente logaritmos.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $60.500 / 50.000 = 1,21$.
- $(1,10)^n = 1,21 = (1,10)^2 \implies n = 2\text{ años}$.
- $n = \log 2 / \log 1,10 \approx 7,27\text{ años}$.
- $\frac{\ln(M/C)}{\ln(1+i)} = \frac{\log(M/C)}{\log(1+i)} = \log_{1+i}(M/C)$.
- $n = 0,4771 / 0,0414 \approx 11,52\text{ años}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular el número de períodos o plazo de inversión requerido para alcanzar una meta en régimen compuesto.
Resolver la ecuación exponencial aplicando logaritmos y evaluando el cociente $n = \frac{\log(M / C)}{\log(1 + i)}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la fórmula del interés compuesto $M = C(1+i)^t$, si la tasa es capitalizable semestralmente y la inversión dura $A$ años, ¿qué valor debe tomar el exponente '$t$'? (v1)
Hay 2 semestres en un año, así que en A años habrán $2 \cdot A$ semestres totales.
Respuesta: A) $2 \cdot A$
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En la fórmula del interés compuesto $M = C(1+i)^t$, si la tasa es capitalizable semestralmente y la inversión dura $A$ años, ¿qué valor debe tomar el exponente '$t$'? (v2)
Hay 2 semestres en un año, así que en A años habrán $2 \cdot A$ semestres totales.
Respuesta: A) $2 \cdot A$
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En la fórmula del interés compuesto $M = C(1+i)^t$, si la tasa es capitalizable semestralmente y la inversión dura $A$ años, ¿qué valor debe tomar el exponente '$t$'? (v3)
Hay 2 semestres en un año, así que en A años habrán $2 \cdot A$ semestres totales.
Respuesta: A) $2 \cdot A$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si una operación financiera dura $4$ años completos y tiene una capitalización mensual, ¿cuántos ciclos de capitalización (exponente $t$) existirán en total?
$4$ años $\times 12$ meses = $48$ ciclos.
Respuesta: A) $48$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si inviertes dinero por $2$ años con capitalización bimestral, el exponente que debes usar en la fórmula es $12$?
En un año hay 6 bimestres. En 2 años, hay $2 \cdot 6 = 12$ bimestres totales.
Respuesta: Verdadero
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¿Si inviertes dinero por $2$ años con capitalización bimestral, el exponente que debes usar en la fórmula es $12$?
En un año hay 6 bimestres. En 2 años, hay $2 \cdot 6 = 12$ bimestres totales.
Respuesta: Verdadero
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¿Si inviertes dinero por $2$ años con capitalización bimestral, el exponente que debes usar en la fórmula es $12$?
En un año hay 6 bimestres. En 2 años, hay $2 \cdot 6 = 12$ bimestres totales.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una Pyme pide un préstamo para expandir su negocio por $\$15.000.000$. El banco se lo otorga a una tasa de interés del $18\%$ anual con capitalización cuatrimestral. El plazo del préstamo es de $4$ años. ¿Cuál es el exponente y la base de la potencia que modelará la deuda final de esta Pyme? (v1)
Cuatrimestral significa cada 4 meses (hay 3 al año). Tasa periódica: $18\% / 3 = 6\%$ (Base $1.06$). Exponente: $4$ años $\times 3$ cuatrimestres/año = $12$.
Respuesta: A) Base $1.06$, exponente $12$.
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Una Pyme pide un préstamo para expandir su negocio por $\$15.000.000$. El banco se lo otorga a una tasa de interés del $18\%$ anual con capitalización cuatrimestral. El plazo del préstamo es de $4$ años. ¿Cuál es el exponente y la base de la potencia que modelará la deuda final de esta Pyme? (v2)
Cuatrimestral significa cada 4 meses (hay 3 al año). Tasa periódica: $18\% / 3 = 6\%$ (Base $1.06$). Exponente: $4$ años $\times 3$ cuatrimestres/año = $12$.
Respuesta: A) Base $1.06$, exponente $12$.
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Una Pyme pide un préstamo para expandir su negocio por $\$15.000.000$. El banco se lo otorga a una tasa de interés del $18\%$ anual con capitalización cuatrimestral. El plazo del préstamo es de $4$ años. ¿Cuál es el exponente y la base de la potencia que modelará la deuda final de esta Pyme? (v3)
Cuatrimestral significa cada 4 meses (hay 3 al año). Tasa periódica: $18\% / 3 = 6\%$ (Base $1.06$). Exponente: $4$ años $\times 3$ cuatrimestres/año = $12$.
Respuesta: A) Base $1.06$, exponente $12$.