Cálculo del monto en interés compuesto

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

El cálculo del monto en interés compuesto evalúa la acumulación ajustando la tasa periódica ($i = r / k$) y el exponente ($N = n \cdot k$) según la frecuencia de capitalización $k$: $M = C \cdot (1 + r/k)^{n \cdot k}$.

Explicación en palabras simples

Cuando un banco te ofrece una tasa anual pero los intereses se suman cada mes, cada trimestre o cada semestre, debes hacer dos ajustes clave:
1. Dividir la tasa anual entre el número de veces que se capitaliza en el año ($k$).
2. Multiplicar los años por $k$ para saber cuántos períodos totales ($N$) habrá.
Por ejemplo, al $12\%$ anual con capitalización mensual ($k=12$): la tasa mensual es $12\% \div 12 = 1\%$ ($0,01$) y en 1 año hay $12$ períodos.

Cálculo del monto en interés compuesto

Explicación formal

Definición formal

Para un capital inicial $C$ colocado a una tasa nominal anual $r\%$ capitalizable $k$ veces al año durante $n$ años, el monto final acumulado $M$ viene dado por:
$$M = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100 \cdot k}\right)^{n \cdot k} = C \cdot (1 + i_{\text{per}})^N$$
donde:
- $k$ es la frecuencia de capitalización anual: anual ($k=1$), semestral ($k=2$), trimestral ($k=4$), bimestral ($k=6$), mensual ($k=12$), diaria ($k=360$).
- $i_{\text{per}} = \frac{r}{100 \cdot k}$ es la tasa efectiva por período de capitalización.
- $N = n \cdot k$ es el número total de capitalizaciones.

Síntesis didáctica

  • Semestral ($k=2$): $M = C(1 + r/200)^{2n}$.
  • Trimestral ($k=4$): $M = C(1 + r/400)^{4n}$.
  • Mensual ($k=12$): $M = C(1 + r/1200)^{12n}$.
Comprueba tu avance Si una tasa del $8\%$ anual se capitaliza trimestralmente ($k=4$), ¿cuál es la tasa efectiva trimestral y el exponente para $2$ años?

Definiciones clave

  • Frecuencia de capitalización ($k$): Número de veces en un año en que los intereses se liquidan y se incorporan al capital.
  • Tasa efectiva periódica ($i_{\text{per}}$): Rentabilidad asignada a cada intervalo individual de capitalización ($i_{\text{per}} = i_{\text{anual}} / k$).
  • Períodos totales ($N$): Exponente efectivo obtenido al multiplicar los años $n$ por la frecuencia $k$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Monotonía respecto a la frecuencia: Para un mismo capital, plazo y tasa nominal anual, a mayor valor de $k$, mayor es el monto final $M$.
  • Límite continuo: Cuando $k \to \infty$, el monto converge al modelo de capitalización continua $M = C \cdot e^{r \cdot n}$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Se depositan $\$500.000$ a una tasa del $12\%$ anual durante $1$ año con capitalización semestral. Calcula el monto final acumulado.

  • Paso 1: Identificamos $C = 500.000$, tasa anual $r = 12\%$, frecuencia semestral $k = 2$ y plazo $n = 1\text{ año}$.
  • Paso 2: Calculamos la tasa semestral: $i_{\text{sem}} = 12\% / 2 = 6\% \implies 0,06$.
  • Paso 3: Calculamos el número de períodos: $N = 1 \cdot 2 = 2\text{ semestres}$.
  • Paso 4: Aplicamos $M = 500.000 \cdot (1 + 0,06)^2 = 500.000 \cdot (1,06)^2 = 500.000 \cdot 1,1236 = 561.800$. El monto final es **$\$561.800$**.
Comprueba tu avance Un capital de $\$200.000$ al $8\%$ anual capitalizable trimestralmente durante $1$ año ($N=4$, $i=0,02$) rinde un monto final de:

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar capital $C$, tasa anual $r\%$, años $n$ y frecuencia $k$.
  • Paso 2: Calcular tasa periódica $i_{\text{per}} = r / (100 \cdot k)$ y períodos $N = n \cdot k$.
  • Paso 3: Evaluar la base $(1 + i_{\text{per}})$ y elevarla a la potencia $N$.
  • Paso 4: Multiplicar por $C$ para determinar el monto final $M$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Elevar a la potencia de años $n$ sin multiplicar por la frecuencia $k$. Cómo corregirlo: El exponente debe ser el número total de capitalizaciones $N = n \cdot k$.
  • Error 2: No dividir la tasa anual entre $k$. Cómo corregirlo: En cada período solo se aplica la fracción correspondiente de la tasa: $i = r / k$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el monto final de $\$100.000$ al $10\%$ anual capitalizable semestralmente por 1 año?
2 Para $\$400.000$ al $12\%$ anual capitalizable trimestralmente por medio año ($2$ trimestres), ¿cuál es el monto?
3 ¿La capitalización semestral produce un monto final mayor que la capitalización anual a la misma tasa nominal?
4 Si una tasa del $12\%$ anual se capitaliza mensualmente, ¿cuál es la tasa periódica aplicada cada mes?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La tasa nominal anual se coloca como base periódica sin dividirla entre la frecuencia anual de capitalización $k$."
"El número de años $n$ se ingresa directamente como exponente omitiendo el producto por la frecuencia $k$."
"El divisor de la tasa periódica es independiente de la cantidad de liquidaciones de intereses al año."
"El monto final con capitalización fraccionaria se calcula mediante $M = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100 \cdot k}\right)^{n \cdot k}$."
"La capitalización semestral divide el plazo en años por dos en lugar de multiplicarlo."
"Una mayor frecuencia de capitalizaciones por año disminuye el monto final acumulado de la inversión."
"Para una misma tasa nominal anual, aumentar la frecuencia de capitalización $k$ incrementa estrictamente el monto final acumulado."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el monto final en régimen compuesto adaptando la periodicidad de la tasa y el número de capitalizaciones.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Emplear la fórmula $M = C \cdot \left(1 + \frac{r}{100 \cdot k}\right)^{n \cdot k}$, dividiendo la tasa anual entre la frecuencia $k$ y multiplicando los años por $k$ en el exponente.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En la fórmula del Monto Final de Interés Compuesto $M = C \cdot (1 + i)^t$, ¿qué rol cumple el exponente '$t$' matemáticamente? (v1)

  2. En la fórmula del Monto Final de Interés Compuesto $M = C \cdot (1 + i)^t$, ¿qué rol cumple el exponente '$t$' matemáticamente? (v2)

  3. En la fórmula del Monto Final de Interés Compuesto $M = C \cdot (1 + i)^t$, ¿qué rol cumple el exponente '$t$' matemáticamente? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si inviertes a una tasa del $8\%$ compuesto, la base de la potencia que utilizarás en la fórmula es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El monto final de $\$500$ al $10\%$ compuesto por $2$ años se calcula resolviendo $500 \cdot (1.10)^2$?

  2. ¿El monto final de $\$500$ al $10\%$ compuesto por $2$ años se calcula resolviendo $500 \cdot (1.10)^2$?

  3. ¿El monto final de $\$500$ al $10\%$ compuesto por $2$ años se calcula resolviendo $500 \cdot (1.10)^2$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una corporación emite bonos y capta $\$50.000.000$ a una tasa de interés compuesto del $4\%$ anual. ¿Qué expresión algebraica le permitirá al área contable determinar la deuda total (capital más intereses) que deberá pagar la corporación al cabo de $10$ años? (v1)

  2. Una corporación emite bonos y capta $\$50.000.000$ a una tasa de interés compuesto del $4\%$ anual. ¿Qué expresión algebraica le permitirá al área contable determinar la deuda total (capital más intereses) que deberá pagar la corporación al cabo de $10$ años? (v2)

  3. Una corporación emite bonos y capta $\$50.000.000$ a una tasa de interés compuesto del $4\%$ anual. ¿Qué expresión algebraica le permitirá al área contable determinar la deuda total (capital más intereses) que deberá pagar la corporación al cabo de $10$ años? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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