Cálculo del interés ganado en capitalización compuesta

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

El cálculo del interés ganado en capitalización compuesta evalúa el beneficio neto restando el principal al monto acumulado: $I = M - C = C \cdot [(1 + i)^n - 1]$.

Explicación en palabras simples

Si colocas un dinero $C$ en el banco y al final del plazo retiras un monto total $M$, la ganancia que obtuviste por intereses es simplemente la diferencia entre lo que retiraste y lo que depositaste al inicio.
Por ejemplo, si depositaste $\$300.000$ y al cabo de 2 años tienes $\$363.000$, tu interés ganado fue $\$363.000 - $\$300.000$ = $\$63.00$0$.

Interés ganado en capitalización compuesta

Explicación formal

Definición formal

El interés total devengado $I$ en un régimen de interés compuesto es el excedente financiero producido por el capital $C$ al término de $n$ períodos de capitalización a la tasa periódica $i$:
$$I = M - C$$
Sustituyendo la expresión del monto compuesto $M = C \cdot (1 + i)^n$:
$$I = C \cdot (1 + i)^n - C = C \cdot \left[(1 + i)^n - 1\right]$$
donde:
- $\left[(1 + i)^n - 1\right]$ es el factor de interés compuesto.

Síntesis didáctica

  • Ecuación por diferencia: $I = M - C$.
  • Ecuación factorizada directa: $I = C \cdot \left[(1 + i)^n - 1\right]$.
Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula factorizada para calcular directamente el interés ganado $I$ en régimen compuesto?

Definiciones clave

  • Interés devengado ($I$): Rentabilidad neta generada exclusivamente por la capitalización del principal.
  • Factor de interés compuesto: Expresión adimensional $[(1+i)^n - 1]$ que escala directamente el capital inicial.

Propiedades y relaciones importantes

  • Descomposición del monto: El monto final siempre satisface $M = C + I$.
  • Crecimiento no lineal del interés: El interés generado en el período $k+1$ es estrictamente mayor que el generado en el período $k$ ($I_{k+1} = I_k \cdot (1+i)$).

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un capital de $\$300.000$ se deposita al $10\%$ de interés compuesto anual durante $2$ años. Calcula el interés total ganado.

  • Paso 1: Identificamos $C = 300.000$, tasa decimal $i = 0,10$ y períodos $n = 2$.
  • Paso 2: Calculamos el monto final: $M = 300.000 \cdot (1 + 0,10)^2 = 300.000 \cdot 1,21 = 363.000$.
  • Paso 3: Restamos el capital inicial: $I = M - C = 363.000 - 300.000 = 63.000$.
  • Paso 4: Conclusión: El interés total ganado es de **$\$63.000$**.
Comprueba tu avance Si inviertes $\$100.000$ al $20\%$ anual compuesto durante $2$ años ($(1,20)^2 = 1,44$), ¿cuánto interés ganas?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar capital inicial $C$, tasa decimal $i$ y plazo $n$.
  • Paso 2: Calcular el monto acumulado $M = C \cdot (1 + i)^n$.
  • Paso 3: Restar el capital inicial al monto ($I = M - C$).
  • Paso 4: Alternativamente, calcular $I = C \cdot [(1 + i)^n - 1]$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Entregar el monto acumulado $M$ como respuesta cuando se solicita el interés ganado. Cómo corregirlo: Debes restar siempre el capital inicial: $I = M - C$.
  • Error 2: Restar el 1 antes de elevar a la potencia (hacer $(1+i-1)^n = i^n$). Cómo corregirlo: La potencia se calcula PRIMERO sobre $(1+i)$ y luego se resta 1 al resultado.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $C = $\$200.00$0$, $i = 0,10$ anual y $n = 2$ años ($(1,10)^2 = 1,21$), ¿cuál es el interés ganado?
2 Para $\$100.000$ al $5\%$ anual compuesto en 2 años ($(1,05)^2 = 1,1025$), ¿cuánto es el interés?
3 Si el interés ganado a interés compuesto es $I = $\$21.00$0$ en 2 años al $10\%$ anual, ¿el capital inicial fue $\$100.000$?
4 ¿El interés ganado a interés compuesto en 3 períodos al $10\%$ supera al interés simple en $\$3.100$ para un capital de $\$100.000$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El interés ganado a interés compuesto se evalúa sumando multiplicativamente los intereses de un solo período."
"La fórmula factorizada del interés compuesto corresponde a $I = C \cdot \left[(1 + i)^n - 1\right]$."
"La resta de la constante $1$ se efectúa dentro de la base del paréntesis antes de elevar al exponente $n$."
"El factor de interés $[(1+i)^n - 1]$ se multiplica por la tasa $i$ en lugar de multiplicar por el capital $C$."
"El valor del monto final acumulado $M$ se entrega como el interés ganado sin restar el capital inicial $C$."
"El interés ganado a interés compuesto es la diferencia entre el monto final y el capital inicial ($I = M - C$)."
"La cantidad de interés producida en el segundo período es idéntica a la generada en el primer período."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el interés neto devengado en operaciones de capitalización compuesta.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Evaluar la diferencia $I = M - C$ o aplicar la expresión factorizada $I = C \cdot \left[(1 + i)^n - 1\right]$, aislando el rendimiento del principal.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para calcular matemáticamente la 'ganancia pura' (Interés) en un régimen de interés compuesto, el procedimiento lógico es: (v2)

  2. Para calcular matemáticamente la 'ganancia pura' (Interés) en un régimen de interés compuesto, el procedimiento lógico es: (v3)

  3. Para calcular matemáticamente la 'ganancia pura' (Interés) en un régimen de interés compuesto, el procedimiento lógico es: (v1)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. ¿Qué expresión factorizada representa la cantidad de intereses ganados ($I$) en un sistema de interés compuesto?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si inviertes $\$20.000$ en un banco y tras unos años retiras un cheque total por $\$25.500$, el interés compuesto que ganaste fue de $\$5.500$?

  2. ¿Si inviertes $\$20.000$ en un banco y tras unos años retiras un cheque total por $\$25.500$, el interés compuesto que ganaste fue de $\$5.500$?

  3. ¿Si inviertes $\$20.000$ en un banco y tras unos años retiras un cheque total por $\$25.500$, el interés compuesto que ganaste fue de $\$5.500$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un fondo de inversión capta $\$2.000.000$ de un cliente bajo un interés compuesto anual del $5\%$. Al final del tercer año, el cliente decide cerrar la cuenta y solicita que le transfieran únicamente las ganancias obtenidas, dejando el capital inicial intacto. ¿Qué expresión determina el monto exacto de la transferencia que recibirá el cliente? (v2)

  2. Un fondo de inversión capta $\$2.000.000$ de un cliente bajo un interés compuesto anual del $5\%$. Al final del tercer año, el cliente decide cerrar la cuenta y solicita que le transfieran únicamente las ganancias obtenidas, dejando el capital inicial intacto. ¿Qué expresión determina el monto exacto de la transferencia que recibirá el cliente? (v1)

  3. Un fondo de inversión capta $\$2.000.000$ de un cliente bajo un interés compuesto anual del $5\%$. Al final del tercer año, el cliente decide cerrar la cuenta y solicita que le transfieran únicamente las ganancias obtenidas, dejando el capital inicial intacto. ¿Qué expresión determina el monto exacto de la transferencia que recibirá el cliente? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

¿Necesitas más ayuda o una clase particular?

Contáctame directamente para resolver dudas, preparar exámenes o agendar clases particulares personalizadas 1 a 1.

Escríbeme por WhatsApp Llamar directamente