Cálculo de la amortización de préstamos

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

El cálculo de la amortización de préstamos determina la cuota periódica constante $R$ (sistema francés) para extinguir una deuda $P$: $R = P \cdot \frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$.

Explicación en palabras simples

Cuando pides un crédito bancario (como un crédito de consumo o hipotecario), pagas una cuota fija $R$ en cada vencimiento (sistema de amortización francés):
- Cada cuota se divide en dos partes: una parte paga los intereses del saldo adeudado, y el resto reduce la deuda original (amortización de capital).
- Al principio pagas más intereses y amortizas poco capital; hacia el final pagas casi puro capital y muy pocos intereses.
- Al pagar la última cuota, la deuda queda completamente extinguida ($0$).

Cálculo de la amortización de préstamos

Explicación formal

Definición formal

El valor presente de un préstamo o principal $P$ amortizable en $n$ pagos periódicos constantes vencidos $R$ a una tasa periódica $i$ es la suma de los valores actuales de cada cuota:
$$P = \sum_{k=1}^n \frac{R}{(1 + i)^k} = R \cdot \left[\frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}\right]$$
Despejando la cuota constante de amortización $R$:
$$R = P \cdot \left[\frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}\right] = P \cdot \left[\frac{i}{1 - (1 + i)^{-n}}\right]$$

Composición de la Cuota en el Período $k$

Cada pago periódico $R$ se descompone en:
$$R = A_k + I_k$$
- Interés del período ($I_k$): $I_k = S_{k-1} \cdot i$, donde $S_{k-1}$ es el saldo deudor insoluto.
- Amortización real ($A_k$): $A_k = R - I_k = A_1 \cdot (1 + i)^{k-1}$.
- Saldo deudor: $S_k = S_{k-1} - A_k$.

Síntesis didáctica

  • Ecuación de la cuota: $R = P \cdot \left[\frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}\right]$.
  • Dinámica: Intereses decrecientes, amortizaciones de capital crecientes.
Comprueba tu avance En el sistema de amortización francés con cuota constante $R$, ¿cómo evolucionan la porción de interés y la porción de amortización de capital a lo largo del tiempo?

Definiciones clave

  • Sistema de amortización francés: Esquema de crédito donde la cuota total a pagar es constante en cada vencimiento regular.
  • Saldo insoluto deudor ($S_k$): Cantidad de capital que aún queda pendiente de pago tras abonar la cuota $k$.
  • Amortización de capital ($A_k$): Porción de la cuota que reduce directamente el saldo deudor del préstamo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Costo financiero total: La suma total pagada por el deudor es $n \cdot R$; el interés total pagado al banco es $I_{\text{total}} = n \cdot R - P$.
  • Progresión de las amortizaciones: Las porciones de capital amortizado $A_1, A_2, \dots, A_n$ forman una progresión geométrica creciente de razón $(1 + i)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un préstamo de $\$100.000$ se amortiza en $2$ cuotas anuales constantes a una tasa del $10\%$ anual compuesto. Calcula el valor de la cuota anual $R$ y el desglose de la primera cuota.

  • Paso 1: Identificamos $P = 100.000$, tasa $i = 0,10$ y número de cuotas $n = 2$.
  • Paso 2: Calculamos el factor: $\frac{0,10 \cdot (1,10)^2}{(1,10)^2 - 1} = \frac{0,10 \cdot 1,21}{1,21 - 1} = \frac{0,121}{0,21} \approx 0,57619$.
  • Paso 3: Multiplicamos por el préstamo: $R = 100.000 \cdot 0,57619 = $\$57.61$9$.
  • Paso 4: Desglose primera cuota: Interés $I_1 = 100.000 \cdot 0,10 = $\$10.00$0$; Amortización $A_1 = 57.619 - 10.000 = $\$47.61$9$.
Comprueba tu avance Si un crédito de $\$100.000$ se cancela en 2 cuotas de $\$57.619$, ¿cuánto dinero total se pagó en intereses?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el monto del préstamo $P$, la tasa periódica $i$ y el número de pagos $n$.
  • Paso 2: Calcular el factor de amortización $\frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$.
  • Paso 3: Multiplicar por el principal $P$ para obtener la cuota periódica fija $R$.
  • Paso 4: Construir la tabla de amortización evaluando en cada período $I_k = S_{k-1} \cdot i$, $A_k = R - I_k$ y $S_k = S_{k-1} - A_k$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Calcular la cuota dividiendo $P$ entre $n$ y sumando el interés del primer período. Cómo corregirlo: La cuota francesa se obtiene mediante la fórmula de valor presente de anualidades: $R = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$.
  • Error 2: Creer que la porción de amortización de capital es constante. Cómo corregirlo: La amortización $A_k$ aumenta con cada período a medida que el saldo deudor se reduce.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para un préstamo de $\$100.000$ al $10\%$ en 2 cuotas ($R \approx $\$57.61$9$), ¿cuál es el interés total del crédito?
2 Si la primera cuota es $\$57.619$ y el saldo inicial es $\$100.000$ al $10\%$, ¿cuánto capital se amortiza?
3 Tras amortizar $\$47.619$ de un crédito de $\$100.000$, ¿el saldo deudor para el segundo período es $\$52.381$?
4 Sobre el saldo $S_1 = $\$52.38$1$ al $10\%$, ¿la segunda cuota de $\$57.619$ extingue exactamente el préstamo?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La cuota periódica constante en el sistema francés de amortización se calcula mediante $R = P \cdot \left[\frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}\right]$."
"La cuota periódica constante se calcula sumando el interés simple total al principal y dividiendo linealmente entre $n$."
"En cada cuota del sistema francés, la porción destinada al pago de intereses disminuye y la porción de amortización de capital aumenta."
"El costo financiero total de un crédito equivale numéricamente al valor de una sola cuota periódica."
"La porción de intereses se mantiene constante en cada una de las cuotas del crédito."
"La amortización de capital en la primera cuota es idéntica a la amortización en la última cuota."
"El saldo deudor se calcula restando la cuota completa $R$ al capital en lugar de restar solo la porción de amortización $A_k$."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la cuota constante de amortización y estructurar el desglose financiero de un préstamo a interés compuesto.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicar la fórmula francesa $R = P \cdot \frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$ y descomponer la cuota en interés sobre saldo ($I_k = S_{k-1} \cdot i$) y amortización de capital ($A_k = R - I_k$).

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En el contexto del pago de un crédito con cuotas periódicas, ¿qué representa el concepto de 'Amortización'? (v1)

  2. En el contexto del pago de un crédito con cuotas periódicas, ¿qué representa el concepto de 'Amortización'? (v2)

  3. En el contexto del pago de un crédito con cuotas periódicas, ¿qué representa el concepto de 'Amortización'? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La ecuación fundamental que descompone una cuota periódica de un préstamo es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si pagas una cuota mensual de $\$150.000$ y el interés generado en ese mes por tu deuda fue de $\$50.000$, entonces amortizaste $\$100.000$ de capital?

  2. ¿Si pagas una cuota mensual de $\$150.000$ y el interés generado en ese mes por tu deuda fue de $\$50.000$, entonces amortizaste $\$100.000$ de capital?

  3. ¿Si pagas una cuota mensual de $\$150.000$ y el interés generado en ese mes por tu deuda fue de $\$50.000$, entonces amortizaste $\$100.000$ de capital?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un cliente mantiene una deuda hipotecaria con un saldo actual de $\$50.000.000$. La tasa de interés del crédito es un $0.5\%$ mensual. Si en el mes actual el cliente paga una cuota fija de $\$400.000$, ¿cuál será el nuevo saldo de su deuda para el mes siguiente tras este pago? (v3)

  2. Un cliente mantiene una deuda hipotecaria con un saldo actual de $\$50.000.000$. La tasa de interés del crédito es un $0.5\%$ mensual. Si en el mes actual el cliente paga una cuota fija de $\$400.000$, ¿cuál será el nuevo saldo de su deuda para el mes siguiente tras este pago? (v2)

  3. Un cliente mantiene una deuda hipotecaria con un saldo actual de $\$50.000.000$. La tasa de interés del crédito es un $0.5\%$ mensual. Si en el mes actual el cliente paga una cuota fija de $\$400.000$, ¿cuál será el nuevo saldo de su deuda para el mes siguiente tras este pago? (v1)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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