Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Aplicar la propiedad distributiva para expandir el producto de un racional por una suma.
Introducción
Multiplicar un racional por una suma de racionales se puede hacer de dos formas equivalentes: sumar primero y multiplicar después, o multiplicar cada sumando por separado y luego sumar los resultados.
Explicación
Definición formal
La propiedad distributiva conecta la multiplicación con la adición: \(p\cdot(q+r)=p\cdot q+p\cdot r\) para cualquier terna de racionales \(p,q,r\). Se demuestra usando la definición de suma y producto de fracciones junto con la distributividad de los enteros.
Desarrollo didáctico
\(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{4}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1\). Por el otro camino: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{2}{12}+\frac{10}{12}=\frac{12}{12}=1\). Ambos caminos coinciden.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el factor exterior y los dos sumandos interiores.
- Paso 2: Multiplica el factor por cada sumando y conserva el signo más.
- Paso 3: Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados.
Ejemplos
1 \(\frac{2}{3}(\frac{1}{4}+\frac{5}{4})=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}\).
- Identifica el factor exterior y los dos sumandos interiores.
- Multiplica el factor por cada sumando y conserva el signo más.
- Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados.
2 Una solución aplica “Multiplica el factor por cada sumando y conserva el signo más.”, pero termina sin comprobar que multiplicar una suma puede hacerse repartiendo el factor común. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define propiedad distributiva del producto respecto de la suma: la distributiva respecto de la suma permite multiplicar un factor común por cada sumando.
- Identifica el factor exterior y los dos sumandos interiores.
- Completa la revisión con este control: Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados.
3 ¿Se cumple que multiplicar una suma puede hacerse repartiendo el factor común? — Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
- Sí. La definición pertinente establece que la distributiva respecto de la suma permite multiplicar un factor común por cada sumando.
- El caso “\(\frac{2}{3}(\frac{1}{4}+\frac{5}{4})=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}\)” satisface esa condición.
- Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados.
4 ¿Es válido omitir el paso “Identifica el factor exterior y los dos sumandos interiores”? — Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Multiplica el factor por cada sumando y conserva el signo más.
- La solución debe terminar de este modo: Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar propiedad distributiva del producto respecto de la suma sin realizar este control inicial: Identifica el factor exterior y los dos sumandos interiores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{2}{3}(\frac{1}{4}+\frac{5}{4})=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Multiplica el factor por cada sumando y conserva el signo más.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre propiedad distributiva del producto respecto de la suma que contradice el criterio “Multiplicar una suma puede hacerse repartiendo el factor común”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Compara \(a(b+c)\) con \(ab+ac\) mediante el cálculo de ambos lados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q,r\in\mathbb{Q}\), se cumple \(p(q+r)=pq+pr\).