Propiedad distributiva del producto respecto de la resta
Resumen inicial
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta establece que $q_1 \cdot (q_2 - q_3) = (q_1 \cdot q_2) - (q_1 \cdot q_3)$.
Explicación en palabras simples
De la misma forma que con la suma, podemos distribuir la multiplicación de una fracción sobre una resta dentro de un paréntesis. Multiplicar el factor exterior por una resta equivale a multiplicar el factor por el minuendo, restarle el producto del factor por el sustraendo.
Explicación formal
Para cualesquiera tres racionales $q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{Q}$, la Distributividad del Producto respecto a la Sustracción establece:
$$q_1 \cdot (q_2 - q_3) = (q_1 \cdot q_2) - (q_1 \cdot q_3)$$
Desglose de la fórmula:
- Aplicación de signo: Mantiene el operador de diferencia en medio de los productos distribuidos.
- Factorización de resta: $(q_1 \cdot q_2) - (q_1 \cdot q_3) = q_1 \cdot (q_2 - q_3)$.
Complemento didáctico: Surge directamente de combinar la distributividad aditiva con el inverso aditivo: $q_1 \cdot (q_2 + (-q_3)) = q_1 q_2 + q_1 (-q_3)$.
La alternativa correcta es 'q1 · (q2 - q3) = q1 · q2 - q1 · q3'.
Definiciones clave
- Propiedad distributiva respecto a la resta: Regla $q_1 \cdot (q_2 - q_3) = q_1 q_2 - q_1 q_3$ aplicada sobre diferencias.
Propiedades y relaciones importantes
- Extensión a la diferencia: Conserva el operador de resta en el desarrollo distribuido.
Ejemplo guiado
Verifique la propiedad distributiva evaluando $\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right)$ de dos formas distintas.
- Paso 1: Vía paréntesis directo: $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \implies \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
- Paso 2: Vía distribución: $\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{6}{12} - \frac{3}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
- Paso 3: Comparar ambos resultados: $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
- Conclusión: La distributividad sobre la resta se cumple exactamente.
La alternativa correcta es '1/4'.
Procedimiento
- Paso 1: Multiplicar el factor $q_1$ por el minuendo $q_2$ ($q_1 \cdot q_2$).
- Paso 2: Multiplicar el factor $q_1$ por el sustraendo $q_3$ ($q_1 \cdot q_3$).
- Paso 3: Restar el segundo producto del primero para obtener $(q_1 \cdot q_2) - (q_1 \cdot q_3)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Cambiar el signo menos por más al distribuir sobre la resta. Cómo corregirlo: La distributividad preserva el signo menos del paréntesis ($(q_1 q_2) - (q_1 q_3)$).
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Error 2: Invertir el orden de los productos en la resta distribuida. Cómo corregirlo: Se debe restar estrictamente el producto del minuendo menos el producto del sustraendo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $5 \cdot 1/2 - 5 \cdot 1/5 = 5/2 - 1 = 5/2 - 2/2 = 3/2$.
- Factor común 4/7: $4/7 \cdot (5/3 - 2/3) = 4/7 \cdot 1 = 4/7$.
- Sí, la multiplicación es distributiva respecto a la sustracción en $\mathbb{Q}$.
- Sí, ambos lados evalúan exactamente a 2.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Resolver y simplificar operaciones combinadas aplicando la distributividad del producto sobre la sustracción.
Aplicando $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$, prestando especial atención a la regla de signos cuando el factor exterior o los términos interiores son negativos: $-k \cdot (b - c) = -kb + kc$.