Propiedad distributiva del producto respecto de la resta
Aplicar la propiedad distributiva para expandir el producto de un racional por una resta.
Introducción
La propiedad distributiva también funciona con la resta: multiplicar un racional por una diferencia de racionales equivale a restar los productos de cada término por separado.
Explicación
Definición formal
Como \(q-r=q+(-r)\), la distributiva de la resta se deduce directamente de la distributiva de la suma: \(p(q-r)=p(q+(-r))=pq+p(-r)=pq-pr\).
Desarrollo didáctico
\(\frac{3}{5}\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{2}=\frac{3}{5}\cdot3=\frac{9}{5}\). Por el otro camino: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{21}{10}-\frac{3}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}\). Ambos caminos coinciden.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el factor exterior, el minuendo y el sustraendo.
- Paso 2: Multiplica el factor por ambos términos y conserva el signo menos entre productos.
- Paso 3: Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos.
Ejemplos
1 \(\frac{3}{5}(\frac{7}{2}-\frac{1}{2})=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\).
- Identifica el factor exterior, el minuendo y el sustraendo.
- Multiplica el factor por ambos términos y conserva el signo menos entre productos.
- Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos.
2 Una solución aplica “Multiplica el factor por ambos términos y conserva el signo menos entre productos.”, pero termina sin comprobar que la distributiva también funciona cuando dentro del paréntesis hay una resta. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define propiedad distributiva del producto respecto de la resta: la distributiva respecto de la resta permite multiplicar un factor común por el minuendo y por el sustraendo.
- Identifica el factor exterior, el minuendo y el sustraendo.
- Completa la revisión con este control: Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos.
3 ¿Se cumple que la distributiva también funciona cuando dentro del paréntesis hay una resta? — Propiedad distributiva del producto respecto de la resta
- Sí. La definición pertinente establece que la distributiva respecto de la resta permite multiplicar un factor común por el minuendo y por el sustraendo.
- El caso “\(\frac{3}{5}(\frac{7}{2}-\frac{1}{2})=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\)” satisface esa condición.
- Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos.
4 ¿Es válido omitir el paso “Identifica el factor exterior, el minuendo y el sustraendo”? — Propiedad distributiva del producto respecto de la resta
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de propiedad distributiva del producto respecto de la resta.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Multiplica el factor por ambos términos y conserva el signo menos entre productos.
- La solución debe terminar de este modo: Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar propiedad distributiva del producto respecto de la resta sin realizar este control inicial: Identifica el factor exterior, el minuendo y el sustraendo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{3}{5}(\frac{7}{2}-\frac{1}{2})=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Multiplica el factor por ambos términos y conserva el signo menos entre productos.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre propiedad distributiva del producto respecto de la resta que contradice el criterio “La distributiva también funciona cuando dentro del paréntesis hay una resta”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Verifica que \(a(b-c)=ab-ac\), cuidando especialmente los signos negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q,r\in\mathbb{Q}\), se cumple \(p(q-r)=pq-pr\).