Propiedad conmutativa de la multiplicación en Q
Aplicar que el orden de los factores no altera el resultado de una multiplicación de racionales.
Introducción
Al igual que con la suma, multiplicar \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}\) o \(\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}\) da el mismo resultado: el orden de los factores no importa.
Explicación
Definición formal
Para \(p=\frac{a}{b}\), \(q=\frac{c}{d}\): \(p\cdot q=\frac{ac}{bd}\) y \(q\cdot p=\frac{ca}{db}\). Como la multiplicación de enteros es conmutativa, \(ac=ca\) y \(bd=db\), así que \(p\cdot q=q\cdot p\).
Desarrollo didáctico
\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\), y también \(\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\): el resultado no cambia al invertir el orden de los factores.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe un producto de dos racionales.
- Paso 2: Cambia el orden de los factores sin modificar sus signos.
- Paso 3: Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\).
Ejemplos
1 \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}\).
- Escribe un producto de dos racionales.
- Cambia el orden de los factores sin modificar sus signos.
- Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\).
2 Una solución aplica “Cambia el orden de los factores sin modificar sus signos.”, pero termina sin comprobar que en una multiplicación de racionales el orden no cambia el resultado. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define propiedad conmutativa de la multiplicación en Q: la propiedad conmutativa de la multiplicación establece que cambiar el orden de los factores no altera el producto.
- Escribe un producto de dos racionales.
- Completa la revisión con este control: Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\).
3 ¿Se cumple que en una multiplicación de racionales el orden no cambia el resultado? — Propiedad conmutativa de la multiplicación en Q
- Sí. La definición pertinente establece que la propiedad conmutativa de la multiplicación establece que cambiar el orden de los factores no altera el producto.
- El caso “\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}\)” satisface esa condición.
- Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\).
4 ¿Es válido omitir el paso “Escribe un producto de dos racionales”? — Propiedad conmutativa de la multiplicación en Q
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de propiedad conmutativa de la multiplicación en Q.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Cambia el orden de los factores sin modificar sus signos.
- La solución debe terminar de este modo: Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar propiedad conmutativa de la multiplicación en Q sin realizar este control inicial: Escribe un producto de dos racionales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Cambia el orden de los factores sin modificar sus signos.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre propiedad conmutativa de la multiplicación en Q que contradice el criterio “En una multiplicación de racionales el orden no cambia el resultado”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Comprueba que ambos productos sean iguales: \(ab=ba\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q\in\mathbb{Q}\), se cumple \(p\cdot q=q\cdot p\).