Propiedad conmutativa de la adición en Q
Aplicar que el orden de los sumandos no altera el resultado de una suma de racionales.
Introducción
Sumar \(\frac{1}{2}+\frac{3}{7}\) o \(\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\) da exactamente el mismo resultado: el orden en que se escriben los sumandos es irrelevante.
Explicación
Definición formal
Para \(p=\frac{a}{b}\), \(q=\frac{c}{d}\): \(p+q=\frac{ad+bc}{bd}\) y \(q+p=\frac{cb+da}{db}\). Como la suma y el producto de enteros son conmutativos, \(ad+bc=cb+da\) y \(bd=db\), así que \(p+q=q+p\).
Desarrollo didáctico
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\frac{7+6}{14}=\frac{13}{14}\), y también \(\frac{3}{7}+\frac{1}{2}=\frac{6+7}{14}=\frac{13}{14}\): cambiar el orden de los sumandos no cambia el resultado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe una suma de dos racionales en el orden original.
- Paso 2: Intercambia únicamente el orden de los sumandos y calcula ambas expresiones.
- Paso 3: Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\).
Ejemplos
1 \(\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\).
- Escribe una suma de dos racionales en el orden original.
- Intercambia únicamente el orden de los sumandos y calcula ambas expresiones.
- Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\).
2 Una solución aplica “Intercambia únicamente el orden de los sumandos y calcula ambas expresiones.”, pero termina sin comprobar que en una suma de racionales el orden no cambia el resultado. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define propiedad conmutativa de la adición en Q: la propiedad conmutativa de la adición establece que cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.
- Escribe una suma de dos racionales en el orden original.
- Completa la revisión con este control: Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\).
3 ¿Se cumple que en una suma de racionales el orden no cambia el resultado? — Propiedad conmutativa de la adición en Q
- Sí. La definición pertinente establece que la propiedad conmutativa de la adición establece que cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.
- El caso “\(\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\)” satisface esa condición.
- Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\).
4 ¿Es válido omitir el paso “Escribe una suma de dos racionales en el orden original”? — Propiedad conmutativa de la adición en Q
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de propiedad conmutativa de la adición en Q.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Intercambia únicamente el orden de los sumandos y calcula ambas expresiones.
- La solución debe terminar de este modo: Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar propiedad conmutativa de la adición en Q sin realizar este control inicial: Escribe una suma de dos racionales en el orden original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{1}{2}+\frac{3}{7}=\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Intercambia únicamente el orden de los sumandos y calcula ambas expresiones.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre propiedad conmutativa de la adición en Q que contradice el criterio “En una suma de racionales el orden no cambia el resultado”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Verifica que los resultados coincidan: \(a+b=b+a\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q\in\mathbb{Q}\), se cumple \(p+q=q+p\).