Propiedad asociativa de la multiplicación en Q
Aplicar que agrupar de distinta forma los factores no altera el resultado de una multiplicación de racionales.
Introducción
Al multiplicar tres o más racionales, el orden en que se agrupan las operaciones no cambia el resultado, igual que ocurre con la suma.
Explicación
Definición formal
La propiedad asociativa de la multiplicación establece que, al multiplicar tres racionales, calcular primero \(p\cdot q\) y luego multiplicar por \(r\), o calcular primero \(q\cdot r\) y luego multiplicarlo por \(p\), producen el mismo resultado, porque la multiplicación de enteros también es asociativa.
Desarrollo didáctico
\(\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{5}{2}=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}=1\), y \(\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1\): ambas agrupaciones producen el mismo resultado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Conserva el orden de tres factores y multiplica primero los dos iniciales.
- Paso 2: Repite agrupando los dos factores finales.
- Paso 3: Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar.
Ejemplos
1 \((\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5})\cdot\frac{5}{2}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2})\).
- Conserva el orden de tres factores y multiplica primero los dos iniciales.
- Repite agrupando los dos factores finales.
- Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar.
2 Una solución aplica “Repite agrupando los dos factores finales.”, pero termina sin comprobar que al multiplicar racionales, cambiar la agrupación no cambia el resultado. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define propiedad asociativa de la multiplicación en Q: la propiedad asociativa de la multiplicación permite agrupar factores de distintas maneras sin cambiar el producto.
- Conserva el orden de tres factores y multiplica primero los dos iniciales.
- Completa la revisión con este control: Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar.
3 ¿Se cumple que al multiplicar racionales, cambiar la agrupación no cambia el resultado? — Propiedad asociativa de la multiplicación en Q
- Sí. La definición pertinente establece que la propiedad asociativa de la multiplicación permite agrupar factores de distintas maneras sin cambiar el producto.
- El caso “\((\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5})\cdot\frac{5}{2}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2})\)” satisface esa condición.
- Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar.
4 ¿Es válido omitir el paso “Conserva el orden de tres factores y multiplica primero los dos iniciales”? — Propiedad asociativa de la multiplicación en Q
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de propiedad asociativa de la multiplicación en Q.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Repite agrupando los dos factores finales.
- La solución debe terminar de este modo: Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar propiedad asociativa de la multiplicación en Q sin realizar este control inicial: Conserva el orden de tres factores y multiplica primero los dos iniciales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\((\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5})\cdot\frac{5}{2}=\frac{2}{3}\cdot(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2})\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Repite agrupando los dos factores finales.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre propiedad asociativa de la multiplicación en Q que contradice el criterio “Al multiplicar racionales, cambiar la agrupación no cambia el resultado”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Verifica que \((ab)c=a(bc)\) sin confundir reagrupar con reordenar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q,r\in\mathbb{Q}\), se cumple \((p\cdot q)\cdot r=p\cdot(q\cdot r)\).