Inverso multiplicativo de un número racional no nulo
Determinar el inverso multiplicativo (recíproco) de un número racional distinto de cero.
Introducción
Todo número racional distinto de cero tiene un "recíproco" que, multiplicado por él, da exactamente \(1\): ese recíproco es su inverso multiplicativo.
Explicación
Definición formal
Para todo \(p=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\) con \(a\neq0\), existe un único \(p^{-1}=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q}\) tal que \(p\cdot p^{-1}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}=1\). El número \(0\) es la única excepción: no tiene inverso multiplicativo, porque no existe fracción con denominador \(0\).
Desarrollo didáctico
El inverso multiplicativo de \(-\frac{7}{3}\) es \(-\frac{3}{7}\), ya que \(-\frac{7}{3}\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{21}{21}=1\): se obtiene intercambiando numerador y denominador, conservando el signo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Comprueba que el racional no sea cero.
- Paso 2: Intercambia numerador y denominador conservando el signo global.
- Paso 3: Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\).
Ejemplos
1 El inverso multiplicativo de \(-\frac{7}{3}\) es \(-\frac{3}{7}\).
- Comprueba que el racional no sea cero.
- Intercambia numerador y denominador conservando el signo global.
- Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\).
2 Una solución aplica “Intercambia numerador y denominador conservando el signo global.”, pero termina sin comprobar que solo el cero no tiene inverso multiplicativo. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define inverso multiplicativo de un número racional no nulo: el inverso multiplicativo de un racional no nulo es el número que multiplicado por él produce 1.
- Comprueba que el racional no sea cero.
- Completa la revisión con este control: Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\).
3 ¿Se cumple que solo el cero no tiene inverso multiplicativo? — Inverso multiplicativo de un número racional no nulo
- Sí. La definición pertinente establece que el inverso multiplicativo de un racional no nulo es el número que multiplicado por él produce 1.
- El caso “El inverso multiplicativo de \(-\frac{7}{3}\) es \(-\frac{3}{7}\)” satisface esa condición.
- Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\).
4 ¿Es válido omitir el paso “Comprueba que el racional no sea cero”? — Inverso multiplicativo de un número racional no nulo
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de inverso multiplicativo de un número racional no nulo.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Intercambia numerador y denominador conservando el signo global.
- La solución debe terminar de este modo: Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar inverso multiplicativo de un número racional no nulo sin realizar este control inicial: Comprueba que el racional no sea cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “El inverso multiplicativo de \(-\frac{7}{3}\) es \(-\frac{3}{7}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Intercambia numerador y denominador conservando el signo global.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre inverso multiplicativo de un número racional no nulo que contradice el criterio “Solo el cero no tiene inverso multiplicativo”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Multiplica ambos números y verifica que el resultado sea \(1\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El inverso multiplicativo de \(p=\frac{a}{b}\), con \(a\neq0\), es \(p^{-1}=\frac{b}{a}\), y cumple \(p\cdot p^{-1}=1\).