Clausura de Q en la multiplicación
Reconocer que el producto de dos números racionales es siempre otro número racional.
Introducción
Igual que ocurre con la suma, multiplicar dos fracciones nunca produce un resultado fuera de \(\mathbb{Q}\): el producto de racionales también es racional.
Explicación
Definición formal
Si \(p=\frac{a}{b}\) y \(q=\frac{c}{d}\) con \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), \(b,d\neq0\), entonces \(p\cdot q=\frac{ac}{bd}\), donde \(ac\in\mathbb{Z}\) y \(bd\in\mathbb{Z}\) con \(bd\neq0\) (por ser producto de enteros no nulos). Por lo tanto \(\mathbb{Q}\) es cerrado bajo la multiplicación.
Desarrollo didáctico
Si \(\frac{3}{4}\) y \(-\frac{2}{7}\) son racionales, su producto es \(\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{7}\right)=-\frac{6}{28}=-\frac{3}{14}\), que también es racional: el numerador y el denominador del resultado son enteros con denominador distinto de cero.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Representa los dos racionales como fracciones de denominador no nulo.
- Paso 2: Multiplica numeradores y denominadores.
- Paso 3: Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional.
Ejemplos
1 Si \(\frac{3}{4}\) y \(-\frac{2}{7}\) son racionales, entonces su producto también lo es.
- Representa los dos racionales como fracciones de denominador no nulo.
- Multiplica numeradores y denominadores.
- Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional.
2 Una solución aplica “Multiplica numeradores y denominadores.”, pero termina sin comprobar que la multiplicación conserva pertenencia al conjunto de los racionales. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define clausura de Q en la multiplicación: la clausura de \(\mathbb{Q}\) en la multiplicación afirma que el producto de dos racionales siempre es racional.
- Representa los dos racionales como fracciones de denominador no nulo.
- Completa la revisión con este control: Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional.
3 ¿Se cumple que la multiplicación conserva pertenencia al conjunto de los racionales? — Clausura de Q en la multiplicación
- Sí. La definición pertinente establece que la clausura de \(\mathbb{Q}\) en la multiplicación afirma que el producto de dos racionales siempre es racional.
- El caso “Si \(\frac{3}{4}\) y \(-\frac{2}{7}\) son racionales, entonces su producto también lo es” satisface esa condición.
- Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional.
4 ¿Es válido omitir el paso “Representa los dos racionales como fracciones de denominador no nulo”? — Clausura de Q en la multiplicación
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de clausura de Q en la multiplicación.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Multiplica numeradores y denominadores.
- La solución debe terminar de este modo: Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar clausura de Q en la multiplicación sin realizar este control inicial: Representa los dos racionales como fracciones de denominador no nulo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “Si \(\frac{3}{4}\) y \(-\frac{2}{7}\) son racionales, entonces su producto también lo es” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Multiplica numeradores y denominadores.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre clausura de Q en la multiplicación que contradice el criterio “La multiplicación conserva pertenencia al conjunto de los racionales”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Comprueba que el denominador del producto no sea cero y concluye que sigue siendo racional."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q\in\mathbb{Q}\), se cumple que \(p\cdot q\in\mathbb{Q}\).