Clausura de Q en la adición
Reconocer que la suma de dos números racionales es siempre otro número racional.
Introducción
Al sumar dos fracciones cualesquiera, el resultado nunca "se sale" del conjunto de los racionales: esta propiedad, llamada clausura, garantiza que la suma siempre está bien definida dentro de \(\mathbb{Q}\).
Explicación
Definición formal
Si \(p=\frac{a}{b}\) y \(q=\frac{c}{d}\) con \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), \(b,d\neq0\), entonces \(p+q=\frac{ad+bc}{bd}\), donde \(ad+bc\in\mathbb{Z}\) y \(bd\in\mathbb{Z}\) con \(bd\neq0\). Por lo tanto \(p+q\) también es racional: \(\mathbb{Q}\) es cerrado bajo la adición.
Desarrollo didáctico
\(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}\): el numerador y el denominador del resultado son enteros y el denominador es distinto de cero, así que \(\frac{11}{15}\) es racional, sin importar qué par de racionales se sumen.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Elige dos racionales y escríbelos con denominador común.
- Paso 2: Súmalos para obtener una nueva fracción con denominador no nulo.
- Paso 3: Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\).
Ejemplos
1 Si \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{2}{5}\) son racionales, entonces \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\) también es racional.
- Elige dos racionales y escríbelos con denominador común.
- Súmalos para obtener una nueva fracción con denominador no nulo.
- Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\).
2 Una solución aplica “Súmalos para obtener una nueva fracción con denominador no nulo.”, pero termina sin comprobar que la operación no saca el resultado fuera del conjunto de los racionales. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define clausura de Q en la adición: la clausura de \(\mathbb{Q}\) en la adición afirma que la suma de dos racionales siempre es racional.
- Elige dos racionales y escríbelos con denominador común.
- Completa la revisión con este control: Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\).
3 ¿Se cumple que la operación no saca el resultado fuera del conjunto de los racionales? — Clausura de Q en la adición
- Sí. La definición pertinente establece que la clausura de \(\mathbb{Q}\) en la adición afirma que la suma de dos racionales siempre es racional.
- El caso “Si \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{2}{5}\) son racionales, entonces \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\) también es racional” satisface esa condición.
- Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\).
4 ¿Es válido omitir el paso “Elige dos racionales y escríbelos con denominador común”? — Clausura de Q en la adición
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de clausura de Q en la adición.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Súmalos para obtener una nueva fracción con denominador no nulo.
- La solución debe terminar de este modo: Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar clausura de Q en la adición sin realizar este control inicial: Elige dos racionales y escríbelos con denominador común."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “Si \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{2}{5}\) son racionales, entonces \(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\) también es racional” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Súmalos para obtener una nueva fracción con denominador no nulo.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre clausura de Q en la adición que contradice el criterio “La operación no saca el resultado fuera del conjunto de los racionales”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Concluye que el resultado sigue perteneciendo a \(\mathbb{Q}\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para todo \(p,q\in\mathbb{Q}\), se cumple que \(p+q\in\mathbb{Q}\).