Sustracción de fracciones de distinto denominador

Resumen inicial

La sustracción de fracciones de distinto denominador homogeniza las fracciones al m.c.m. de los denominadores y resta los nuevos numeradores.

Explicación en palabras simples

Para restar dos fracciones que tienen denominadores diferentes, primero debemos transformar ambas fracciones a un denominador común utilizando amplificaciones (con el m.c.m.). Una vez que ambas tienen el mismo número abajo, restamos los numeradores de arriba.

$Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Explicación formal

Para $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $M = \operatorname{mcm}(b, d)$, la Sustracción Heterogénea General se expresa como:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \left(\frac{M}{b}\right) - c \cdot \left(\frac{M}{d}\right)}{M} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$$

Desglose de la fórmula:
- $M = \operatorname{mcm}(b, d)$: Denominador común homogenizador.
- $a \cdot d - b \cdot c$: Numerador resultante de la diferencia cruzada en $\mathbb{Z}$.

Complemento didáctico: El orden en el numerador $a \cdot d - b \cdot c$ debe respetarse estrictamente porque la resta en $\mathbb{Z}$ no es conmutativa.

Definiciones clave

Sustracción de fracciones heterogéneas: Diferencia entre fracciones de distinto denominador mediante m.c.m.

Propiedades y relaciones importantes

No conmutatividad: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \neq \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$.

Ejemplo guiado

Calcule la diferencia $\frac{3}{4} - \frac{2}{5}$.

$Ejemplo Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Paso 1: Hallar $\operatorname{mcm}(4, 5) = 20$.
Paso 2: Amplificar $\frac{3}{4}$ por 5: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Paso 3: Amplificar $\frac{2}{5}$ por 4: $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.
Paso 4: Restar los numeradores: $\frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}$.
Conclusión: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{7}{20}$.

Procedimiento

Paso 1: Calcular el m.c.m. de los denominadores diferentes.
Paso 2: Amplificar los numeradores respetando el orden del minuendo y sustraendo.
Paso 3: Restar los numeradores obtenidos y simplificar.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Restar numeradores y denominadores en línea recta (ej: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1}{-1}$). Cómo corregirlo: Se debe homogenizar denominadores obligatoriamente.
Error 2: Invertir el orden de los productos en la resta cruzada. Cómo corregirlo: Se debe calcular estrictamente $a \cdot d - b \cdot c$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Invertir la posición del minuendo y sustraendo en la resta de fracciones da el mismo resultado."

"Restar fracciones heterogéneas se realiza restando los numeradores y restando los denominadores."

"La sustracción de fracciones heterogéneas requiere homogenizar los denominadores antes de restar los numeradores."

"La regla directa de resta cruzada es $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$."

"El resultado de $3/4 - 1/2$ es la fracción $2/2 = 1$."

"No es necesario amplificar las fracciones para realizar su resta heterogénea."

"Restar denominadores distintos produce un denominador negativo en el resultado."

Al terminar debes poder

$Resumen Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Restar fracciones heterogéneas preservando el orden de minuendo y sustraendo.

Homogeneizando los denominadores con el $\text{mcm}$ o aplicando la fórmula $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$ ($b, d \neq 0$), simplificando la fracción final.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación