Sustracción de fracciones de distinto denominador

Resumen inicial

La sustracción de fracciones de distinto denominador homogeniza las fracciones al m.c.m. de los denominadores y resta los nuevos numeradores.

Explicación en palabras simples

Para restar dos fracciones que tienen denominadores diferentes, primero debemos transformar ambas fracciones a un denominador común utilizando amplificaciones (con el m.c.m.). Una vez que ambas tienen el mismo número abajo, restamos los numeradores de arriba.

$Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Explicación formal

Para $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $M = \operatorname{mcm}(b, d)$, la Sustracción Heterogénea General se expresa como:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \left(\frac{M}{b}\right) - c \cdot \left(\frac{M}{d}\right)}{M} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$$

Desglose de la fórmula:
- $M = \operatorname{mcm}(b, d)$: Denominador común homogenizador.
- $a \cdot d - b \cdot c$: Numerador resultante de la diferencia cruzada en $\mathbb{Z}$.

Complemento didáctico: El orden en el numerador $a \cdot d - b \cdot c$ debe respetarse estrictamente porque la resta en $\mathbb{Z}$ no es conmutativa.

Definiciones clave

Sustracción de fracciones heterogéneas: Diferencia entre fracciones de distinto denominador mediante m.c.m.

Propiedades y relaciones importantes

No conmutatividad: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \neq \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$.

Ejemplo guiado

Calcule la diferencia $\frac{3}{4} - \frac{2}{5}$.

$Ejemplo Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Paso 1: Hallar $\operatorname{mcm}(4, 5) = 20$.
Paso 2: Amplificar $\frac{3}{4}$ por 5: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Paso 3: Amplificar $\frac{2}{5}$ por 4: $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.
Paso 4: Restar los numeradores: $\frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}$.
Conclusión: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{7}{20}$.

Procedimiento

Paso 1: Calcular el m.c.m. de los denominadores diferentes.
Paso 2: Amplificar los numeradores respetando el orden del minuendo y sustraendo.
Paso 3: Restar los numeradores obtenidos y simplificar.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Restar numeradores y denominadores en línea recta (ej: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1}{-1}$). Cómo corregirlo: Se debe homogenizar denominadores obligatoriamente.
Error 2: Invertir el orden de los productos en la resta cruzada. Cómo corregirlo: Se debe calcular estrictamente $a \cdot d - b \cdot c$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La regla directa de resta cruzada es $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$."

"El resultado de $3/4 - 1/2$ es la fracción $2/2 = 1$."

"Invertir la posición del minuendo y sustraendo en la resta de fracciones da el mismo resultado."

"Restar denominadores distintos produce un denominador negativo en el resultado."

"No es necesario amplificar las fracciones para realizar su resta heterogénea."

"La sustracción de fracciones heterogéneas requiere homogenizar los denominadores antes de restar los numeradores."

"Restar fracciones heterogéneas se realiza restando los numeradores y restando los denominadores."

Al terminar debes poder

$Resumen Sustracción de fracciones de distinto denominador$

Restar fracciones heterogéneas preservando el orden de minuendo y sustraendo.

Homogeneizando los denominadores con el $\text{mcm}$ o aplicando la fórmula $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$ ($b, d \neq 0$), simplificando la fracción final.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación