Sustracción de fracciones de distinto denominador
Resumen inicial
La sustracción de fracciones de distinto denominador homogeniza las fracciones al m.c.m. de los denominadores y resta los nuevos numeradores.
Explicación en palabras simples
Para restar dos fracciones que tienen denominadores diferentes, primero debemos transformar ambas fracciones a un denominador común utilizando amplificaciones (con el m.c.m.). Una vez que ambas tienen el mismo número abajo, restamos los numeradores de arriba.
Explicación formal
Para $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $M = \operatorname{mcm}(b, d)$, la Sustracción Heterogénea General se expresa como:
$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \left(\frac{M}{b}\right) - c \cdot \left(\frac{M}{d}\right)}{M} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$$
Desglose de la fórmula:
- $M = \operatorname{mcm}(b, d)$: Denominador común homogenizador.
- $a \cdot d - b \cdot c$: Numerador resultante de la diferencia cruzada en $\mathbb{Z}$.
Complemento didáctico: El orden en el numerador $a \cdot d - b \cdot c$ debe respetarse estrictamente porque la resta en $\mathbb{Z}$ no es conmutativa.
La alternativa correcta es '(a · d - b · c) / (b · d)'.
Definiciones clave
- Sustracción de fracciones heterogéneas: Diferencia entre fracciones de distinto denominador mediante m.c.m.
Propiedades y relaciones importantes
- No conmutatividad: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \neq \frac{c}{d} - \frac{a}{b}$.
Ejemplo guiado
Calcule la diferencia $\frac{3}{4} - \frac{2}{5}$.
- Paso 1: Hallar $\operatorname{mcm}(4, 5) = 20$.
- Paso 2: Amplificar $\frac{3}{4}$ por 5: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
- Paso 3: Amplificar $\frac{2}{5}$ por 4: $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.
- Paso 4: Restar los numeradores: $\frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}$.
- Conclusión: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{7}{20}$.
La alternativa correcta es '7/20'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular el m.c.m. de los denominadores diferentes.
- Paso 2: Amplificar los numeradores respetando el orden del minuendo y sustraendo.
- Paso 3: Restar los numeradores obtenidos y simplificar.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Restar numeradores y denominadores en línea recta (ej: $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1}{-1}$). Cómo corregirlo: Se debe homogenizar denominadores obligatoriamente.
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Error 2: Invertir el orden de los productos en la resta cruzada. Cómo corregirlo: Se debe calcular estrictamente $a \cdot d - b \cdot c$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- mcm=6. $5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2$.
- $2/4 - 3/4 = -1/4$.
- Sí, la resta heterogénea exige la homogenización previa.
- Sí, $2/5 = 4/10 \implies 7/10 - 4/10 = 3/10$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Restar fracciones heterogéneas preservando el orden de minuendo y sustraendo.
Homogeneizando los denominadores con el $\text{mcm}$ o aplicando la fórmula $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$ ($b, d \neq 0$), simplificando la fracción final.