Multiplicación de fracciones
Resumen inicial
La multiplicación de fracciones multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
Explicación en palabras simples
Multiplicar fracciones es la operación más directa de todas: simplemente multiplicamos el número de arriba por el número de arriba, y el número de abajo por el número de abajo. No necesitamos buscar ningún denominador común.
Explicación formal
Para cualesquiera fracciones $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $b, d \neq 0$, el Producto de Racionales se define formalmente como:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Desglose de la fórmula:
- $a \cdot c$: Producto directo de los numeradores en $\mathbb{Z}$.
- $b \cdot d$: Producto directo de los denominadores en $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
Complemento didáctico: Antes de multiplicar es muy conveniente simplificar cruzado cualquier numerador con cualquier denominador para facilitar los cálculos.
La alternativa correcta es '(a · c) / (b · d) (multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí)'.
Definiciones clave
- Multiplicación de fracciones: Producto directo de numeradores y denominadores en línea recta.
Propiedades y relaciones importantes
- Simplificación previa (cruzada): Permite simplificar numeradores y denominadores antes de efectuar el producto.
Ejemplo guiado
Calcule la multiplicación $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$ simplificando de forma cruzada.
- Paso 1: Simplificar el $4$ arriba con el $8$ abajo dividiendo entre $4 \implies 4:4=1, 8:4=2$.
- Paso 2: Simplificar el $3$ arriba con el $9$ abajo dividiendo entre $3 \implies 3:3=1, 9:3=3$.
- Paso 3: Multiplicar los nuevos numeradores: $1 \cdot 1 = 1$.
- Paso 4: Multiplicar los nuevos denominadores: $3 \cdot 2 = 6$.
- Conclusión: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{6}$.
La alternativa correcta es '1/6'.
Procedimiento
- Paso 1: Simplificar opcionalmente cualquier numerador con cualquier denominador si comparten divisores comunes.
- Paso 2: Multiplicar en línea recta los numeradores para obtener el nuevo numerador ($a \cdot c$).
- Paso 3: Multiplicar en línea recta los denominadores para obtener el nuevo denominador ($b \cdot d$).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Buscar denominadores comunes para multiplicar fracciones. Cómo corregirlo: La multiplicación NO exige denominador común; se multiplica en línea recta directo.
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Error 2: Multiplicar en cruz como si fuera una división. Cómo corregirlo: La multiplicación es en LÍNEA RECTA (numerador con numerador, denominador con denominador).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$.
- $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
- Sí, es la definición directa del producto en $\mathbb{Q}$.
- Sí, $\frac{12}{12} = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Multiplicar números racionales aplicando simplificación cruzada previa.
Multiplicando linealmente numeradores entre sí y denominadores entre sí: $\left(\frac{a}{b}\right) \cdot \left(\frac{c}{d}\right) = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$, cancelando factores comunes antes de efectuar los productos.