División de fracciones como multiplicación por el recíproco
Resumen inicial
La división de fracciones se calcula multiplicando la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
Explicación en palabras simples
Para dividir dos fracciones, mantenemos la primera fracción igual, cambiamos la división por una multiplicación y damos vuelta la segunda fracción (su recíproco). Luego multiplicamos normalmente en línea recta.
Explicación formal
Para $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ con $b, c, d \neq 0$, la División de Racionales se define algebraicamente como el producto por el inverso:
$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^{-1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
Desglose de la fórmula:
- $\left(\frac{c}{d}\right)^{-1} = \frac{d}{c}$: Recíproco del divisor.
- $\frac{a \cdot d}{b \cdot c}$: Cociente final obtenido de la multiplicación invertida.
Complemento didáctico: También se puede visualizar con la regla del sándwich (medios y extremos): $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.
La alternativa correcta es 'En multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda (a/b · d/c)'.
Definiciones clave
- División de fracciones: Operación reducida al producto de la primera por el recíproco de la segunda.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia a multiplicación: Dividir por $\frac{c}{d}$ equivale a multiplicar por su recíproco $\frac{d}{c}$.
Ejemplo guiado
Calcule la división $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$ convirtiéndola en multiplicación.
- Paso 1: Conservar la primera fracción: $\frac{5}{6}$.
- Paso 2: Cambiar la división por multiplicación e invertir la segunda fracción: $\frac{2}{3} \implies \frac{3}{2}$.
- Paso 3: Expresar el producto: $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2}$.
- Paso 4: Simplificar de forma cruzada ($3$ y $6$ entre $3$): $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
- Conclusión: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{4}$.
La alternativa correcta es '5/4'.
Procedimiento
- Paso 1: Mantener intacta la primera fracción (dividendo).
- Paso 2: Reemplazar el signo de división por un signo de multiplicación.
- Paso 3: Invertir la segunda fracción (divisor) y efectuar la multiplicación en línea recta.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Invertir la primera fracción en lugar de la segunda. Cómo corregirlo: La fracción que se invierte es ÚNICAMENTE la segunda (el divisor).
-
Error 2: Invertir AMBAS fracciones a la vez. Cómo corregirlo: Solo se invierte la segunda fracción.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
- $\frac{2}{5} : \frac{3}{1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
- Sí, la regla de multiplicación cruzada $\frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ da el mismo resultado.
- Sí, $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Dividir números racionales transformando la división en producto.
Multiplicando la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ ($b, c, d \neq 0$).