División de fracciones como multiplicación por el recíproco
Dividir una fracción por otra usando el inverso multiplicativo.
Introducción
Dividir por una fracción no es un procedimiento nuevo: equivale a multiplicar por su inverso multiplicativo, lo que reduce la división a una multiplicación ya conocida.
Explicación
Definición formal
\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\), pues dividir por \(\frac{c}{d}\) equivale a multiplicar por su inverso \(\frac{d}{c}\), ya que \(\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=1\).
Desarrollo didáctico
\(\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}\): se multiplica \(\frac{2}{5}\) por el inverso de \(\frac{3}{4}\), que es \(\frac{4}{3}\), obteniendo \(\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Comprueba que la fracción divisora sea distinta de cero.
- Paso 2: Conserva el dividendo, invierte el divisor y cambia división por multiplicación.
- Paso 3: Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa.
Ejemplos
1 \(\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\).
- Comprueba que la fracción divisora sea distinta de cero.
- Conserva el dividendo, invierte el divisor y cambia división por multiplicación.
- Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa.
2 Una solución aplica “Conserva el dividendo, invierte el divisor y cambia división por multiplicación.”, pero termina sin comprobar que el divisor debe ser distinto de cero para que la división exista. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define división de fracciones como multiplicación por el recíproco: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su recíproco.
- Comprueba que la fracción divisora sea distinta de cero.
- Completa la revisión con este control: Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa.
3 ¿Se cumple que el divisor debe ser distinto de cero para que la división exista? — División de fracciones como multiplicación por el recíproco
- Sí. La definición pertinente establece que dividir por una fracción equivale a multiplicar por su recíproco.
- El caso “\(\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\)” satisface esa condición.
- Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa.
4 ¿Es válido omitir el paso “Comprueba que la fracción divisora sea distinta de cero”? — División de fracciones como multiplicación por el recíproco
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de división de fracciones como multiplicación por el recíproco.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Conserva el dividendo, invierte el divisor y cambia división por multiplicación.
- La solución debe terminar de este modo: Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Empezar división de fracciones como multiplicación por el recíproco sin realizar este control inicial: Comprueba que la fracción divisora sea distinta de cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Memorizar “\(\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\)” como respuesta aislada, sin reconstruir la definición que lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir en receta el paso “Conserva el dividendo, invierte el divisor y cambia división por multiplicación.” y usarlo aunque cambien las condiciones del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dar por válida una conclusión sobre división de fracciones como multiplicación por el recíproco que contradice el criterio “El divisor debe ser distinto de cero para que la división exista”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cerrar el ejercicio sin esta comprobación específica: Multiplica, simplifica y verifica el resultado con la operación inversa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.